Слабкий гаусдорфів простір

Шаблон:Аксіоми відокремлюваності У топології слабким гаусдорфовим простором називають топологічний простір X для якого для будь-якого компактного гаусдорфового простору K і неперервного відображення f : K → X образ f (K) є замкнутою підмножиною у X.

Цей тип просторів ввів американський математик Майкл МакКорд у 1969 році . Слабкі гаусдорфові простори найчастіше використовуються у алгебричній топології, часто у поєднанні із вимогою компактної породженості.

Властивості

• Слабкий гаусдорфів простір є T₁ простором.

Одним із еквівалентних означень T₁ простору є те, що всі його одноточкові підмножини є замкнутими. Але одноточкові підмножини простору X можна розглядати як образи неперервних відображень із деякої одноточкової множини (яка буде компактною і гаусдорфовою) у X. Якщо X є слабким гаусдорфовим, то всі ці образи є замкнутими підмножинами і X є простором T₁.

• Для слабкого гаусдорфового простору $X$ і гаусдорфового компактного простору $K$ образ $f(K)$ при неперервному відображенні $f:K\to X$ є гаусдорфовим підпростором.

Нехай $x$ і $y$ є різними точками $f(K)$ і позначимо $H_x=f^{-1}(\{x\})$ і $H_y=f^{-1}(\{y\})$; $H_x$ і $H_y$ є замкнутими множинами із пустим перетином. Оскільки простір $K$ є нормальним, то існують відкриті підмножини $U_x$ і $U_y$ у $K$ із пустим перетином для яких $H_x\subseteq U_x$ і $H_y\subseteq U_y$. Нехай тепер $V_x=f(K)\setminus f(K\setminus U_x)$ і $V_y=f(K)\setminus f(K\setminus U_y)$. Підпростори $K\setminus U_x$ і $K\setminus U_y$ є компактними і гаусдорфовими і їх образи при $f$ є замкнутими і тому $V_x$ і $V_y$ є відкритими підмножинами $f(K)$ для яких $x\in V_x$ і $y\in V_y$. Якщо $z\in V_x\cap V_y$, нехай $p\in K$ точка для якої $f(p)=z$; але тоді $p\in U_x\cap U_y$, що є неможливим. Тобто перетин $V_x$ і $V_y$ є пустим і із довільності вибору точок $x$ і $y$ випливає, що $f(K)$ є гаусдорфовим підпростором.

• Нехай $\{X_i:i\in I\}$ є сім'єю слабких гаусдорфових просторів. Тоді добуток $X=\prod _{i\in I}{X}_i$є слабким гаусдорфовим простором.

Нехай $K$ є компактним гаусдорфовим простором і $f:K\to X$ є неперервним відображенням. Для $i\in I$ нехай ${\pi }_i:X\to X_i$ позначає стандартну проєкцію і $H_i=({\pi }_i\circ f)(K)$. Кожен підпростір $H_i$ є замкнутим, компактним і гаусдорфовим у $X_i$, тож $\prod _{i\in I}{H}_i$ є замкнутим, компактним і гаусдорфовим підпростором $X$. Оскільки $f(K)$ є компактною підмножиною у $\prod _{i\in I}{H}_i$, то $f(K)$ є замкнутою у $\prod _{i\in I}{H}_i$, а тому й у $X$.

Приклади

• Кожен гаусдорфів простір є слабким гаусдорфовим.

Справді, для компактного простору якщо K образ f (K) при неперервному відображенні буде компактною підмножиною. Якщо додатково X є гаусдорфовим простором то довільна його компактна підмножина, зокрема і f (K) є замкнутою. Тобто X є слабким гаусдорфовим.

• Довільний KC-простір, тобто простір у якому всі компактні підмножини є замкнутими є слабким гаусдорфовим простором. Це випливає з того, що образ довільного компактного простору при неперервному відображенні є компактною множиною, тож якщо відображення здійснюється у KC-простір то цей образ також буде замкнутим. Гаусдорфові простори є прикладом KC-просторів, тож цей приклад узагальнює попередній.
• У статті одноточкова компактифікація показано, що одноточкова компактифікація простору раціональних чисел ${\mathbb{Q}}^{*}$ є KC-простором але не є гаусдорфовим простором. Тому ${\mathbb{Q}}^{*}$ є прикладом слабкого гаусдорфового простору, що не є гаусдорфовим простором.
• Добуток ${\mathbb{Q}}^{*}\times {\mathbb{Q}}^{*}$ одноточкових компактифікацій простору раціональних чисел теж є слабким гаусдорфовим простором. Але він не є KC-простором.

Якщо позначити $\mathrm{\Delta }=\{⟨x,x⟩:x\in {\mathbb{Q}}^{*}\}$ діагональ простору то $\mathrm{\Delta }$ є гомеоморфною ${\mathbb{Q}}^{*}$ і тому компактною. Позначимо точку $P=⟨p,0⟩\in X$, де p — додаткова точка у компактифікації ${\mathbb{Q}}^{*}$ і для кожного $ϵ>0$ також $I_{ϵ}=(-ϵ,ϵ)\cap \mathbb{Q}$. Для кожної компактної підмножини $K$ у $\mathbb{Q}$ і $ϵ>0$ позначимо $B(K,ϵ)=({\mathbb{Q}}^{*}\setminus K)\times I_{ϵ}$ і нехай $ℬ$ є сім'єю всіх таких $B(K,ϵ)$. Тоді $ℬ$ є локальним базисом у точці $P$. Зафіксуємо $B(K,ϵ)\in ℬ$. Тоді $I_{ϵ}\setminus K\ne \varnothing$ і можна вибрати $y\in I_{ϵ}\setminus K$; тоді $⟨y,y⟩\in \mathrm{\Delta }\cap B(K,ϵ)$ і з довільності вибору $B(K,ϵ)$ випливає, що $P$ належить замиканню $\mathrm{\Delta }$ але не $\mathrm{\Delta }$. Тобто $\mathrm{\Delta }$ є компактною але не замкнутою підмножиною.

Див. також

• Гаусдорфів простір
• Компактно породжений простір
• Простір T1