Квадратне пірамідне число

Геометричне подання квадратного пірамідного числа: Шаблон:Nobr

Квадра́тне пірамі́дне число́ (часто зване просто пірамі́дним число́м) — просторове фігурне число, що представляє піраміду, з квадратною основою. Квадратні пірамідні числа також виражають кількість квадратів зі сторонами, паралельними осям координат у ґраітці з N × N точок.

Початок послідовності:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, … (Шаблон:OEIS).

Формула

Загальна формула для $n$-го за порядком квадратного пірамідного числа:

$P_n=\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}.$

Це окремий випадок Шаблон:Не перекладено, яку неважко довести за індукцією. Вперше рівносильну формулу наведено в Книзі абака Фібоначчі (XIII століття).

У сучасній математиці формалізація фігурних чисел відбувається за допомогою многочленів Ергарта. Многочлен Ергарта L(P,t) многогранника P — многочлен, який підраховує кількість цілих точок у копії многогранника P, який збільшується множенням усіх його координат на число t. Многочлен Ергарта піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 1 із цілими координатами, а вершина міститьяс на висоті 1 над основою, обчислюється за формулою:

$(t+1)(t+2)(2t+3)/6=P_{t+1}$.

Твірна функція

Твірна функція для квадратних пірамідних чисел має вигляд:

$\mathrm{𝟏}x+\mathrm{𝟓}{x}^2+\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}{x}^3+\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟎}{x}^4+\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟓}{x}^5+\dots =\frac{x(x+1)}{(x-1{)}^4}.$

Зв'язок з іншими фігурними числами

Квадратні пірамідні числа можна також виразити у вигляді суми біноміальних коефіцієнтів:

$P_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3}).$

Біноміальні коефіцієнти, що виникають у цьому виразі, це тетраедричні числа. Ця формула виражає квадратні пірамідні числа як суми двох чисел, так само, як і будь-яке квадратне число є сумою двох послідовних трикутних чисел. У цій сумі одне з двох тетраедричних чисел дорівнює кількості куль у складеній піраміді, розташованих вище або по один бік від діагоналі квадратної основи піраміди; а друге — розташованих по інший бік діагоналі. Квадратні пірамідні числа пов'язані з тетраедричними числами такШаблон:Sfn:

$P_n=\frac{1}{4}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{3}).$

Сума двох послідовних квадратних пірамідних чисел є октаедричним числом.

Задача знаходження квадратних пірамідних чисел, які є одночасно квадратними числами, відома як задача про вкладання гарматних ядер. Сформулював її Люка (1875).

Див. також

• Пірамідне число

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Фігурні числа Шаблон:Wayback
• Шаблон:MathWorld
• Geometric Proof of Tetrahedral Number Formula Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга