Забутливий функтор

Забутливий функтор (стиральний функтор) — теоретико-категорійний функтор, який «забуває» деякі або всі алгебричні структури і властивості початкової області, тобто переводить області, наділені додатковими структурами та властивостями, в кообласті з меншими обмеженнями.

Поняття не має строгого визначення та використовується для якісної характеризації перетворень, що провадяться такого роду функторами. Для алгебричної структури із заданим набором операцій ці перетворення можна описати як скорочення сигнатури, наприклад, забутливим є функтор, який зіставляє кожному кільцю з категорії кілець $𝐑𝐧𝐠$ його адитивну абелеву групу з категорії $𝐀𝐛$ та переводить гомоморфізми кілець у гомоморфізми групШаблон:Перехід. Сигнатура може бути порожньою, тобто кообластю такого функтора виявляється множина-носій початкової структури, прикладом такого функтора є перетворення груп із категорії груп $𝐆𝐫𝐩$ у множини їхніх елементів з категорії $𝐒𝐞𝐭$, що переводить гомоморфізми в «звичайні» відображення множин. Оскільки багато конструкцій у математиці описують як множини з додатковою структурою, забутливий функтор у множину-носій є найпоширенішим практичним прикладом; можливість побудови функтора в категорію множин лежить в основі важливого поняття конкретної категорії. Крім того, забутливий функтор може зберігати структури, але при цьому знижувати обмеження за властивостямиШаблон:Перехід.

Приклад

Як приклад можна навести кілька забутливих функторів із категорії комутативних кілець. Комутативне кільце, описане мовою універсальної алгебри, — це набір Шаблон:Math, що задовольняє певним аксіомам; тут Шаблон:Math та Шаблон:Math — бінарні операції на множині Шаблон:Math, Шаблон:Math — унарна операція (взяття протилежного елемента за додаванням), Шаблон:Math та Шаблон:Math — нульарні операції взяття тотожних елементів за додаванням і множенням. Видалення одиниці відповідає забутливому функтору в категорію кілець без одиниці; видалення Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідає функтору в категорію абелевих груп, який зіставляє кожному кільцю його групу за додаванням. При цьому кожному морфізму кілець зіставляється та сама функція, тільки вона розглядається як морфізм абелевих груп. Вилучення всієї сигнатури відповідає функтору в категорію множин.

Забування структури та властивостей

Існують певні відмінності між тими функторами, які «забувають структуру», і тими, які «забувають лише властивості». Якщо функтори $𝐑𝐧𝐠\to 𝐀𝐛$ і $𝐆𝐫𝐩\to 𝐒𝐞𝐭$ «забувають» операції, то як приклад функтора, що втрачає властивості, можна навести перетворення з категорії абелевих груп у категорію груп, що втрачає аксіому комутативності множення, але зберігає всі операції.

Забутливі функтори майже завжди є унівалентними. Наприклад, конкретні категорії визначають як категорії, що допускають унівалентний функтор у категорію множин. Функтори, що забувають аксіоми, завжди цілком унівалентні.

Лівий спряжений функтор

Забутливі функтори досить часто мають ліві спряжені функтори, які конструюють Шаблон:Iw. Наприклад:

• вільний модуль: забутливий функтор з $𝐌𝐨𝐝(R)$ (категорії $R$-модулів) у $𝐒𝐞𝐭$ має лівий спряжений ${\mathrm{Free}}_R$, що відповідає відображенню $X\mapsto {\mathrm{Free}}_R(X)$ множини $X$ у вільний $R$ -модуль з базисом $X$;
• вільна група;
• тензорна алгебра.

У цьому випадку спряженість інтерпретується так: узявши множину Шаблон:Math та побудований на ній об'єкт (наприклад, модуль Шаблон:Math), відображення множин $X\to M$ однозначно відповідають відображенням модулів ${\mathrm{Free}}_R(X)\to M$. У разі векторних просторів про це зазвичай кажуть так: «відображення задається образами базисних векторів, і базисні вектори можна відправити будь-куди», цей факт виражає формула:

${\mathrm{Hom}}_{{𝐌𝐨𝐝}_R}({\mathrm{Free}}_R(X),M)={\mathrm{Hom}}_{𝐒𝐞𝐭}(X,\mathrm{Forget}(M))$.

Категорія полів — приклад категорії, де забутливий функтор не має спряженого: не існує поля, що задовольняє вільній універсальній властивості для множини Шаблон:Math.

Література

• Маклейн, Саундерс. Категории для работающих математиков = Categories for the Working Mathematician. — Шаблон:М.: Физматлит, 2004. — С. 25. — 352 с. — ISBN 5-9921-0400-4.