Епсилон-мережа

ε-мережа (епсилон-мережа, ε-щільна множина) для підмножини $M$ метричного простору $X$ — множина $Z$ з того ж простору $X$ така, що для будь-якої точки $x\in M$ знайдеться точка $z\in Z$, віддалена від $x$ не більше ніж на Шаблон:Mvar.

Пов'язані визначення

• Метричний простір, у якому для кожного $\epsilon >0$ існує скінченна $\epsilon$-мережа, називається цілком обмеженим.
• Метрика $\rho$ на множині $X$ називається цілком обмеженою, якщо $(X,\rho )$ — цілком обмежений метричний простір.
• Сімейство метричних просторів $(X_{\alpha },{\rho }_{\alpha })$ таких, що для будь-кого $\epsilon >0$ існує натуральне число $N_{\epsilon }$ таке, що кожен простір $(X_{\alpha },{\rho }_{\alpha })$ допускає $\epsilon >0$-мережу з не більш ніж $N_{\epsilon }$ точок називається універсально цілком обмеженим.
  • Для таких сімейств виконується аналог теореми Громова про компактність.
• Топологічний простір, гомеоморфний цілком обмеженому метричному простору, називається метризованим цілком обмеженою метрикою.

Приклади

• Для стандартної метрики множина раціональних чисел є Шаблон:Mvar-мережею для множини дійсних чисел для будь-якого Шаблон:Math.
• Множина цілих чисел є Шаблон:Mvar-мережею для множини дійсних чисел для $\epsilon \ge 0,5$.

Властивості

• Метричний простір має еквівалентну цілком обмежену метрику тоді й лише тоді, коли він сепарабельний.
• Топологічний простір метризується цілком обмеженою метрикою тоді й лише тоді, коли він регулярний і задовольняє другій аксіомі зліченності.
• Метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли він повний і цілком обмежений. У трохи загальнішому формулюванні, теорема Гаусдорфа про компактність стверджує, що для відносної компактності підмножини $M$ метричного простору $X$ необхідно, а в разі повноти простору $X$ і достатньо, щоб за будь-якого $\epsilon >0$ існувала скінченна Шаблон:Mvar -мережа з елементів множини $M$.

• Повний метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли для будь-кого $\epsilon >0$ в ньому існує компактна Шаблон:Mvar-мережа.

Література

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Шаблон:Книга