Експоненційний об'єкт

Експоненційний об'єкт — теоретико категорний аналог множини функцій у теорія множин. Категорії, в яких існують скінченні границі і експоненціали, називаються декартово замкнутими.

Означення

Нехай в категорії $C$ існують бінарні добутки. Тоді експоненціал $Z^{Y}$ за означенням є універсальним морфізмом з функтора $[-] \times Y$ у $Z$ . (Функтор $[-] \times Y$ з $C$ у $C$ відображає об'єкт $X$ в $X \times Y$ і морфізми $φ$ у $φ \times {i d}_{Y}$ ).

Іншими словами експоненціал $Z^{Y}$ об'єктів $Z$ і $Y$ категорії $C$ є об'єктом, разом з морфізмом $e v a l : Z^{Y} \times Y \to Z$ , що називається відображенням оцінки такими, що для будь-якого об'єкта $X$ і морфізма $g : X \times Y \to Z$ існує єдиний морфізм $λ g : X \to Z^{Y}$ , для якого діаграма нижче є комутативною:

Universal property of the exponential object

Якщо експоненціал $Z^{Y}$ існує для всіх $Z$ у $C$ , то функтор, що відправляє $Z$ у $Z^{Y}$ є правим спряженим до $[-] \times Y$ . У цьому випадку існує натуральна бієкція:

H o m (X \times Y, Z) ≅ H o m (X, Z^{Y})

.

Приклади

У категорії множин експоненціал $Z^{Y}$ це множина всіх функцій з $Y$ у $Z$ . Для будь-якого відображення $g : (X \times Y) \to Z$ відображення $λ g : X \to Z^{Y}$ задається як:

λ g (x) (y) = g (x, y)

.

У категорії топологічних просторів експоненціал $Z^{Y}$ існує, якщо $Y$ — локально компактний гаусдорфів простір. В цьому випадку $Z^{Y}$ - множина неперервних функцій з $Y$ у $Z$ з компактно-відкритою топологією. Якщо $Y$ не є локально компактним гаусдорфовим простором, то експоненціал може не існувати (простір $Z^{Y}$ буде існувати, але відображення $λ$ може не бути неперервним). З цієї причини категорія топологічних просторів не є декартово замкнутою.

Література

Експоненційний об'єкт

Означення

Приклади

Література

Навігаційне меню

Пошук