Додавання матриць

У математиці, додавання матриць — це операція додавання двох матриць, що розраховується за допомогою додавання відповідних елементів. Однак існують й інші операції, які також можуть розглядатися як додавання матриць: пряма сумаШаблон:Перехід та сума Кронекера.

Процес додавання

Для додавання дві матриці повинні мати відповідну кількість рядків та стовпчиків. Сумою двох матриць A та B буде матриця з такою ж кількістю рядків та стовпців, що й у початкових матрицях. Сума A та B, що записується як A + B, розраховується за допомогою додавання відповідних елементів A та B:Шаблон:Sfn

$\begin{array}{cc}𝐀+𝐁& =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]\\ \end{array}$

Наприклад:

$\left[\begin{array}{cc}1& 8\\ 0& 7\\ 9& 8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 2\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+0& 8+0\\ 0+2& 7+2\\ 9+0& 8+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 8\\ 2& 9\\ 9& 9\end{array}\right]$

Також можна відняти одну матрицю від іншої, якщо вони мають однаковий розмір. A − B розраховується як віднімання відповідних елементів A та B. Матриця, що утвориться в результаті, буде мати такий самий розмір, як і A та B. Наприклад:

$\left[\begin{array}{cc}1& 7\\ 1& 2\\ 9& 8\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 0& 5\\ 9& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1-0& 7-5\\ 1-0& 2-5\\ 9-9& 8-7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -3\\ 0& 1\end{array}\right]$

Основні властивості операцій додавання матриць:

• A + B = B + A (комутативність).
• A + (B + C) = (A + B) + C (асоціативність).
• A + 0 = A, при будь-якій матриці. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A), така, що A + (-A) = 0.

Пряма сума

Іншою операцією, що використовується рідше, є пряма сума (позначається ⊕). Зверніть увагу, що сума Кронекера також позначається ⊕; зрозуміти, яка операція мається на увазі, зазвичай можна з контексту. Пряма сума будь-якої пари матриць A розміру m × n та B розміру p × q — це матриця розміру (m + p) × (n + q), що визначається якШаблон:Sfn

$𝐀\oplus 𝐁=\left[\begin{array}{cc}𝐀& 0\\ 0& 𝐁\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right]$

Наприклад,

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\oplus \left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Прямою сумою матриць є спеціальний вид блочної матриці, зокрема пряма сума квадратних матриць — блочна діагональна матриця.

Загалом, пряма сума n матриць визначається як:Шаблон:Sfn

$\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{𝐀}_i=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({𝐀}_1,{𝐀}_2,{𝐀}_3\cdots {𝐀}_n)=\left[\begin{array}{cccc}{𝐀}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {𝐀}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {𝐀}_n\end{array}\right]$

де нулі є фактично блоками нулів, тобто нульовими матрицями.

Сума Кронекера

Сума Кронекера відрізняється від прямої суми, але також позначається ⊕. Вона розраховується за допомогою добутка Кронекера ⊗ та звичайного додавання матриць. Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і $I_k$ — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера $\oplus$ як

$𝐀\oplus 𝐁=𝐀\otimes {𝐈}_m+{𝐈}_n\otimes 𝐁.$

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:PlanetMath
• Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• Matrix Algebra and R Шаблон:Ref-en