Диферінтеграл

Шаблон:Числення Диферінтеграл — у дробовому численні, частині математичного аналізу, є комбінованим оператором диференціюіання/інтегрування порядок якого може бути довільним дійсним або комплексним числом.

q-диферінтеграл від функції f, позначається

${𝔻}^{q}f$

і є дробовою похідною (при q > 0) чи дробовим інтегралом (при q < 0). При q = 0, q-диферінтеграл функції тотожний самій функції. Існує багато різних визначень диферінтеграла.

Визначення

Чотири визначення є найбільш поширеними:

• Диферінтеграл Рімана — ЛіувіляШаблон:PbНайпростіше та найуживаніше визначення. Ця формула є узагальненням формули повторного інтегрування Коші. Де, $n=\lceil q\rceil$. $$\begin{array}{cc}{}_a^{RL}{𝔻}_t^{q}f(t)& =\frac{d^{q}f(t)}{d(t-a{)}^q}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-q)}\frac{d^n}{d{t}^n}\underset{a}{\overset{t}{\int }}(t-\tau {)}^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{array}$$

• Диферінтеграл Грюнвальда — ЛєтніковаШаблон:PbЄ прямим узагальненням визначення похідної. Є більш складним у застосування, а має деякі переваги перед попереднім означенням. $$\begin{array}{cc}{}_a^{GL}{𝔻}_t^{q}f(t)& =\frac{d^{q}f(t)}{d(t-a{)}^q}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{t-a}{N}\right]}^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{j})f(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right])\end{array}$$

• Диферінтеграл ВейляШаблон:Pb Формально ідентичний першому означенню, але застосовується для періодичних функцій, з нульовим інтегралом на періоді.

• Диферінтеграл КапутоШаблон:PbНа відміну від першого означення, диферінтеграл Капуто від константи $f(t)$ рівний нулю. Більше того, форма Лапласового перетворення дозволяє оцінити початкові умови обчисленням похідної цілого порядку в точці $a$. $$\begin{array}{cc}{}_a^C{𝔻}_t^{q}f(t)& =\frac{d^{q}f(t)}{d(t-a{)}^q}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-q)}\underset{a}{\overset{t}{\int }}\frac{f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau {)}^{q-n+1}}d\tau \end{array}$$

Визначення через перетворення

Позначимо неперервне перетворення Фур'є, як $ℱ$: $$F(\omega )=ℱ\{f(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

В Фур'є просторі диференціюванню відповідає множення: $$ℱ\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=i\omega ℱ[f(t)]$$

Тому, $$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}={ℱ}^{-1}\{(i\omega {)}^nℱ[f(t)]\}$$ узагальнюється до $${𝔻}^{q}f(t)={ℱ}^{-1}\{(i\omega {)}^qℱ[f(t)]\}.$$

При двосторонньому перетворенні Лапласа $ℒ[f(t)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt$, диференціювання заміняється множенням $$ℒ\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sℒ[f(t)].$$

Узагальнюючи до довільного порядку і розв'язуючи відносно ${𝔻}^{q}f(t)$, отримаємо $${𝔻}^{q}f(t)={ℒ}^{-1}\{s^qℒ[f(t)]\}.$$

Представлення Н'ютоновими рядами дає інтерполяцію похідними цілих порядків:

$${𝔻}^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{m})\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(-1{)}^{m-k}{f}^{(k)}(x).$$

Для всіх визначень похідних часткового рорядку справедливо:

${𝔻}^q(t^n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1-q)}{t}^{n-q}$

${𝔻}^q(\sin (t))=\sin (t+\frac{q\pi }{2})$

${𝔻}^q(e^{at})=a^q{e}^{at}$

Основні властивості

• лінійність $${𝔻}^q(f+g)={𝔻}^q(f)+{𝔻}^q(g)$$

$${𝔻}^q(af)=a{𝔻}^q(f)$$

• Правило нуля $${𝔻}^{0}f=f$$
• Правило для добутку $${𝔻}_t^q(fg)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{j}){𝔻}_t^j(f){𝔻}_t^{q-j}(g)$$
• Властивість напівгрупи:

${𝔻}_t^a{𝔻}_t^{b}f(t)={𝔻}_t^{a+b}f(t).$

зазвичай не виконується.