Гіпотеза Заремби

Гіпотеза Заремби — твердження теорії чисел про подання нескоротних дробів через неперервні дроби: існує абсолютна стала $\mathrm{\Lambda }$ з такою властивістю: для будь-якого $q⩾2$ існує $a<q$ таке, що $(a,q)=1$ і для розкладу:

$\frac{a}{q}=[a_1,a_2,\dots ,a_n]=\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\dots +\frac{1}{a_s}}}}$

виконуються нерівності:

$a_i⩽\mathrm{\Lambda },i=1,\dots ,s$.

У найсильнішому формулюванні фігурує значення $\mathrm{\Lambda }=5$ для довільного $q$ та значення $\mathrm{\Lambda }=3$ для досить великих $q$.

Гіпотезу висунув 1972 року Шаблон:Iw. Головний прорив у її дослідженні пов'язаний із працею Бургена і Шаблон:Iw 2014 року, в якій слабкий варіант гіпотези доведено для багатьох чисел. Згодом їх результати багато разів покращували.

Мотивація

Історично гіпотеза виникла у зв'язку з пошуком оптимального способу чисельного інтегрування на зразок методу Монте-Карло. Через обмеження на неповні частки Заремба оцінював характеристику ґратки, що описує найменшу віддаленість її точок від початку координат. Низка радянських математиків також замислювалися про цю гіпотезу у зв'язку з чисельним інтегруванням, але в друкованому вигляді її ніде не заявляли.

Сама постановка задачі пов'язана з діофантовими наближеннями. Для наближення довільного дійсного числа $\alpha$ дробом $\frac{p}{q}$ канонічним мірилом якості вважають число $c$, для якого $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|=\frac{1}{c{q}^2}$ (що більше $c$, то краще наближення). Відомо, що раціональні $\alpha$ найкраще наближаються своїми відповідними дробами $\frac{p_n}{q_n}$, для яких відома оцінка $\left|\alpha -\frac{p_n}{q_n}\right|⩽\frac{1}{q_n{q}_{n+1}}$. Оскільки $q_{n+1}<(a_n+1)q_n$, то за наявності безумовної оцінки $a_n⩽\mathrm{\Lambda }$ попередня оцінка не може бути кращою, ніж $\left|\alpha -\frac{p_n}{q_n}\right|⩽\frac{1}{(\mathrm{\Lambda }+1)q_n^2}$. Легко отримати й аналогічну (з точністю до сталої) оцінку знизу, тому гіпотеза Заремби — це точно твердження про існування нескоротних погано наближуваних дробів з будь-яким знаменником.

Узагальнення

«Абетки» значень неповних часток

Часто розглядають загальніше питання: як залежать властивості ${𝒟}_{𝒜}$ (множини знаменників $q$, для яких існують нескоротні дроби $\frac{a}{q}=[a_1,\dots ,a_s]$ з умовою $a_i\in 𝒜$ для всіх $i=1,\dots ,s$) від абетки (скінченної множини натуральних чисел)? Зокрема, для яких $𝒜$ множина ${𝒟}_{𝒜}$ містить майже всі або всі досить великі $q$?

Гіпотеза Генслі

Генслі 1996 року розглянув зв'язок обмежень на неповні частки з гаусдорфовою розмірністю відповідних дробів, і висунув гіпотезу, яку згодом спростовано:

Множина ${𝒟}_{𝒜}$ містить усі досить великі числа тоді й лише тоді, коли ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})>\frac{1}{2}$ (${ℭ}_{𝒜}$ — множина дробів з інтервалу $(0;1)$, усі неповні частки яких лежать в абетці $𝒜$, ${\dim }_H$ — гаусдорфова розмірність.

Контприклад побудовано для абетки $𝒜=\{2,4,6,8,10\}$: відомо що ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})\approx 0,517$, але одночасно $4k+3\in ̸{𝒟}_{𝒜}$.

Бурген і Конторович запропонували слабшу форму цієї гіпотези, пов'язану зі знаменниками $d$, на які накладено додаткові обмеження. При цьому вони довели її щільнісну версію для сильнішого обмеження, ніж $\frac{1}{2}$.

Обчислення гаусдорфової розмірності

Питання обчислення гаусдорфової розмірності для абеток вигляду $𝒜=\{1,\dots ,N\}$ розглядалося в теорії діофантових наближень задовго до гіпотези Заремби і, мабуть, бере початок із роботи 1928 року. У статті, де запропоновано гіпотезу, Генслі описав загальний алгоритм із поліноміальним часом роботи, заснований на такому результаті: для заданого алфавіту $𝒜$ значення ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})$ можна обчислити з точністю $2^{-N}$ усього за $O(N^7)$ операцій.

Існує гіпотеза, що множина значень таких розмірностей $\{{\dim }_H({ℭ}_{𝒜}):|𝒜|⩽\mathrm{\infty }\}$ всюди щільна. З комп'ютерних обчислень відомо, що відстань між її сусідніми елементами принаймні не менша $\frac{1}{50}$.

Для абеток із послідовних чисел Генслі отримав оцінку:

${\dim }_H({ℭ}_{\{1,\dots ,N\}})=1-\frac{6}{{\pi }^{2}N}-\frac{72\log N}{{\pi }^4{N}^2}+O\left(\frac{1}{N^2}\right)$ .

Зокрема, встановлено, що:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to \mathrm{\infty }}{\dim }_H({ℭ}_{\{1,\dots ,N\}})=1$.

Цей факт суттєво використовувався в доведенні центрального результату Бургена та Конторовича.

Просування

Слабкі точні результати

Шаблон:Нп довів гіпотезу для степенів двійки та степенів трійки при $\mathrm{\Lambda }=3$ і для степенів п'ятірки при $\mathrm{\Lambda }=4$Шаблон:Sfn.

Рукавишнікова, розвиваючи простий результат Коробова, показала існування для будь-кого $q$ дробу $\frac{a}{q}=[a_1,\dots ,a_s]$ з умовою $a_i<\phi (q)\log q,i=1,\dots ,s$, де $\phi (q)$ — функція Ейлера.

Щільнісні результати

Найсильнішим і найзагальнішим є результат Бургена та Конторовича:

$|{𝒟}_{\{1,\dots ,50\}}\cap [1;N]|=N-o(N)$,

тобто що гіпотеза Заремби з параметром $\mathrm{\Lambda }=50$ правильна для майже всіх чисел. Їхній результат стосувався не лише цієї абетки, але й будь-якої іншої з умовою $\dim ({ℭ}_{𝒜})>0,98397$. Згодом їхній результат покращено для $\mathrm{\Lambda }=5$ та залишкового члена $N^{-c}$, де $c>0$ — сталаШаблон:Sfn.

Для слабших обмежень той самий метод дозволяє показати, що множина ${𝒟}_{𝒜}$ має додатну густину. Зокрема, з подальших покращень відомо, що це виконується коли $\dim ({ℭ}_{𝒜})>0.25(\sqrt{17}-1)\approx 0.7807...$, зокрема для $𝒜=\{1,2,3,4\}$Шаблон:Sfn.

Оцінки з гаусдорфовою розмірністю

Генслі показав, що якщо ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})=\delta$, то $|{𝒟}_{𝒜}\cap [1;N]|\gg N^{\delta }$. Пізніше Бурген і Конторович покращили цю нерівність до показника $\delta +\frac{(2\delta -1)(1-\delta )}{5-\delta }-o(1)$ замість $\delta$. Для окремих інтервалів значень $\delta$ пізніше отримано сильніші оцінки. Зокрема відомо, що $|{𝒟}_{\{1,2,3,5\}}\cap [1;N]|\gg N^{0.99}$ і що за $\delta \to \frac{\sqrt{40}-4}{3}\approx 0.7748...$ показник степеня прямує до одиниці.

Загальна кількість дробів над тією чи іншою абеткою зі знаменниками, що не перевищують $N$, з точністю до сталої дорівнює $N^{2\delta }$.

Модулярна версія

Генслі виявив, що знаменники дробів, які задовольняють гіпотезі Заремби, рівномірно розподілені (з урахуванням кратності) за будь-яким модулемШаблон:Sfn. З цього, зокрема, випливає існування таких дробів зі знаменниками, рівними нулю (і будь-якому іншому значенню) за тим чи іншим модулем.

Наслідок результату Генслі (1994): для будь-якого $\mathrm{\Lambda }\ge 2$ існує функція $q=q_{\mathrm{\Lambda }}(n)\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ така, що для будь-якого $n$ існує нескоротний дріб $\frac{a}{q}$, неповна частка якого обмежена $\mathrm{\Lambda }$.

При $q_{\mathrm{\Lambda }}(n)=n$ це твердження було б еквівалентним гіпотезі Заремби. Пізніше для простих $n$ отримано оцінки швидкості зростання $q_{\mathrm{\Lambda }}(n)$ в екстремальних випадках:

• для деякої сталої $c$ істинне, що $q_2(n)=O(n^c)$;

• для будь-кого $\epsilon >0$ існує досить велике $\mathrm{\Lambda }$ таке, що $q_{\mathrm{\Lambda }}(n)=O(n^{1+\epsilon })$.

Методи дослідження

Сучасні методи, що сягають статті Бургена й Конторовича, розглядають гіпотезу Заремби мовою матриць розміру 2x2 і вивчають відповідні властивості матричних груп. Завдяки співвідношенню відповідних дробів розклад $\frac{a}{q}=[a_1,\dots ,a_s]$ можна записати як добуток матриць:

$\left(\begin{array}{cc}*& a\\ *& q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a_2\end{array}\right)\dots \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a_s\end{array}\right)$ ,

де зірочками в першій матриці закрито числа, значення яких не суттєве.

Керуючись цим, вивчається група, породжена матрицями вигляду:

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a^{\prime }\end{array}\right),a,a^{\prime }\in 𝒜$ ,

на наявність у ній матриць з тим чи іншим значенням у нижній правій позиції. Для аналізу розподілу таких значень використовують тригонометричні суми, а саме спеціальні аналоги коефіцієнтів Фур'є.

Використання такого інструментарію, а також робота фактично з множинами добутків (де елементи множини — матриці) надає задачі арифметико-комбінаторного характеру.

Див. також

• Обмежені неповні частки

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття