Граничний цикл

Грани́чний цикл — це крива, до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоколиваннях. Зазвичай є роз'язком системи кінетичних рівнянь, які описують дисипативну систему, тобто є однією з можливих фазових траєкторій. Граничні цикли виникають при біфуркаціях Гопфа.

Визначення

Перший приклад (нестікого) граничного циклу (Пуанкаре, 1882).

Стійкий граничний цикл в системі Ван дер Поля ($\mu =1$).

Напівстійкий граничний цикл.

Розглянемо двовимірну автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:

$\dot{x}=f(x),$

де $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ гладка функція. Розв'язок цієї системи $x(t)$ заданий гладкою функцією $x:ℝ\to {ℝ}^2$ яка задовольняє систему диференціальних рівнянь. Траєкторія називається замкнутою, або періодичною, якщо розв'язок, з початковими умовами $x(0)=x_0\in {ℝ}^2$, є (не сталою) періодичною функцією, тобто існує час $\tau >0$ після якого система повертається до початкової точки ($\mathrm{\forall }t\in ℝ.x(t+\tau )=x(t)$).

Граничний цикл — замкнута траєкторія у фазовому просторі двовимірної динамічної системи, до якої збігається хоча б одна фазова траєкторія при $t\to \mathrm{\infty }$ або при $t\to -\mathrm{\infty }$. Граничний цикл називається:

• Стійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при $t\to \mathrm{\infty }$.
• Нестійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при $t\to -\mathrm{\infty }$.
• Напівстійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі при $t\to \mathrm{\infty }$ з одного боку та при $t\to -\mathrm{\infty }$ з іншого, або навпаки.

Приклади

Перший відомий приклад граничного циклу належить Пуанкаре, та був продемонстрований в 1882 році за допомогою наступної автономної системи  :

$\dot{x}=x(x^2+y^2-1)-y(x^2+y^2+1),$

$\dot{y}=y(x^2+y^2-1)+x(x^2+y^2+1).$

Ця система має нестійкий граничний цикл на одиничному колі у фазовому просторі, тобто на множині яка задовольняє алгебричне рівняння $x^2+y^2=1$. На відміну від цього, в інших (навіть алгебричних) системах граничні цикли подекуди не можуть бути записаними за допомогою алгебричних рівнянь. Прикладом системи з токою властивістью є осцилятор Ван дер Поля:

$\dot{x}=y,$

$\dot{y}=\mu (1-x^2)y-x,$

зі стійким граничним циклом (при параметрі нелінійного згасання $\mu >0$) який не має алгебричного виразу.

Заради прикладу напівстійкого граничного циклу можна розглянути наступну систему:

$\dot{x}=-y+x(-1+x^2+y^2{)}^2,$

$\dot{y}=x+y(-1+x^2+y^2{)}^2.$

Напівстійкий граничний цикл цієї системи також лежить на одиничному колі.

Проблема існування

В загальному випадку, доведення існування граничного циклу є нетривіальною проблемою. Існують деякі критерії існування (на пр. Теорема Пуанкаре — Бендиксона) та неіснування граничних циклів (на пр. Шаблон:Нп), однак всі вони дають лише достатні умови.

Нерозв'язані проблеми

Друга частина Шаблон:Нп.

Див. також

• Гранична точка
• Гранична множина
• Атрактор
• Теорема Пуанкаре — Бендиксона
• Шаблон:Нп

Література

Лекції

• Limit cycles Лекція MIT Шаблон:Webarchive. Шаблон:Ref-en
• Limit cycles Відео лекція MIT Шаблон:Webarchive. Шаблон:Ref-en

Підручники

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en