Автономне диференціальне рівняння

Шаблон:Диференціальні рівняння Автономне диференціальне рівняння (Шаблон:Lang-en) — система звичайних диференціальних рівнянь, яка не залежить явно від незалежної змінної. Коли ця змінна є часом, таке рівняння також відоме як часоінваріантна система.

Багато законів фізики, де зазвичай незалежна змінна є час, виражені як автономні системи, бо припускають, що закони природи, які діють нині тотожні тим, що діяли в минулому чи діятимуть у майбутньому.

Автономні системи близько стосуються динамічних систем. Будь-яку автономну систему можна перетворити в динамічну і, використовуючи дуже слабкі припущення, динамічну систему можна перетворити в автономну.

Визначення

Автономна система — система звичайних диференціальних рівнянь у вигляді

$\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))$

де x приймає значення в n-вимірному Евклідовому просторі і t зазвичай є часом.

Така система відрізняється від системи типу

$\frac{d}{dt}x(t)=g(x(t),t)$

в яких закон, що керує швидкістю руху частинок залежить не тільки від положення частинок, але й від часу; такі системи не є автономними.

Важливою властивістю автономних систем є те, що векторне поле не змінюється з часом, тобто, якщо ми стартуємо в тій самій точці секундою пізніше, ми слідуємо тій самій траєкторії як і раніше лиш із затримкою на одну секунду.

Методи розв'язання

Для розв'язання одновимірних автономних диференціальних рівнянь застосовуються такі підходи. Будь-яке одновимірне рівняння порядку $n$ тотожне до $n$-вимірної системи рівнянь першого порядку, але не обов'язково навпаки.

Перший порядок

В автономному рівнянні першого порядку

$\frac{dx}{dt}=f(x)$

змінні можна розділити, отже його можна швидко розв'язати через переведення в інтегральну форму

$t+C=\int \frac{dx}{f(x)}$

Другий порядок

Автономне рівняння другого порядку

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f(x,x^{\prime })$

складніше, але його можна розв'язати через введення нової змінної

$v=\frac{dx}{dt}$

і вираження другої похідної $x$ (через ланцюгове правило) як

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\frac{dv}{dx}$

отже початкове рівняння переходить у

$v\frac{dv}{dx}=f(x,v)$

яка є рівнянням першого порядку, яка не містить незалежної змінної $t$ і, якщо розв'язати ми отримуємо $v$ як функцію від $x$. Тоді, використавши визначення $v$:

$\frac{dx}{dt}=v(x)\Rightarrow t+C=\int \frac{dx}{v(x)}$

що є неявним розв'язком.

Література

• Шаблон:Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння