Геометрія інцидентності

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Геометрія інцидентності — розділ класичної геометрії, що вивчає структури інцидентності.

В геометрії об'єкти, такі як евклідова площина, є складними об'єктами, які використовують концепції довжин, кутів, неперервності, відношення «лежить між» і інцидентності.

Структура інцидентності — це те, що залишається, якщо відкинути усі поняття, крім даних про те, які з досліджуваних об'єктів (наприклад, точки) лежать в інших об'єктах (наприклад, колах або прямих). Навіть при таких обмеженнях деякі теореми можна довести і отримати цікаві факти щодо такої структури. Такі фундаментальні результати залишаються правильними, якщо додати інші концепції для отримання більш багатої геометрії. Іноді автори розмивають відмінність між процесом вивчення і об'єктом вивчення, так що не дивно, що деякі автори використовують для структур інцидентності назву геометрії інцидентності[1].

Структури інцидентності виникають природним чином і вивчалися в різних галузях математики. Відповідно, існує різна термінологія для опису таких об'єктів. У теорії графів вони називаються гіперграфами, а в теорії комбінаторних схем вони називаються блок-схемами. Крім різниці в термінології, в кожній галузі підхід до вивчення об'єкта відрізняється, і питання щодо об'єктів ставляться відповідно до дисципліни. Якщо використовується мова геометрії, як це робиться в геометрії інцидентності, говорять про фігури. Можливо, однак, перекласти результати з термінології однієї дисципліни на мову іншої, але часто це призводить до незграбних і заплутаних тверджень, не виглядає природно для дисципліни. У статті використано тільки приклади, що мають геометричний зміст.

Окремий випадок, що викликає великий інтерес, стосується скінченного набору точок на евклідовій площині і при цьому йдеться про кількість і типи прямих, які ці точки визначають. Деякі результати цього випадку можна поширити на більш загальні випадки, оскільки тут розглядаються тільки властивості інцидентності.

Структури інцидентності

Шаблон:Докладніше Структура інцидентності Шаблон:Math складається з множини Шаблон:Math, елементи якої називаються точками, множини Шаблон:Math, елементи якої називаються прямими, і відношення інцидентності Шаблон:Math між ними, тобто підмножини Шаблон:Math, елементи якої називаються прапорами[2]. Якщо Шаблон:Math — прапор, ми кажемо, що Шаблон:Math інцидентна Шаблон:Math, або, що Шаблон:Math інцидентна Шаблон:Math (відношення симетричне), і пишемо Шаблон:Math. Інтуїтивно ясно, що точка і пряма перебувають у такому відношенні тоді і тільки тоді, коли точка лежить на прямій. Якщо дано точку Шаблон:Math і пряму Шаблон:Math, які не утворюють прапор, то точка не лежить на прямій і пара Шаблон:Math називається антипрапором.

Відстань у структурі інцидентності

Немає природного поняття відстані (метрики) в структурі інцидентності. Однак існує комбінаторна метрика у відповідних графах інцидентності (графах Леві), а саме, довжина найкоротшого шляху між двома вершинами в цьому двочастковому графі. Відстань між двома об'єктами структури інцидентності — двома точками, двома прямими або точкою і прямою — може бути визначена як відстань між двома відповідними вершинами в графі інцидентності структури інцидентності.

Інший шлях визначення відстані знову використовує поняття теорії графів, на цей раз використовується граф колінеарності структури інцидентності. Вершинами графа колінеарності є точки структури інцидентності і дві вершини з'єднані ребром, якщо існує пряма, інцидентна обом точкам. Відстань між двома точками структури інцидентності тоді можна визначити як відстань між ними в графі колінеарності.

Якщо відстань згадується в контексті структури інцидентності, необхідно вказувати, як відстань визначено.

Частково лінійні простори

Найбільш досліджувані структури інцидентності, це структури, що задовольняють деяким додатковим властивостями (аксіомам), такі як проєктивні площини, Шаблон:Нп, узагальнені многокутники, часткові геометрії і майже многокутники. Достатньо загальні структури інцидентності можуть бути отримані накладенням «м'яких» умов, таких як:

Шаблон:Нп є структурою інцидентності, для якої виконуються такі аксіомиШаблон:Sfn:

  • Будь-яка пара різних точок визначає максимум одну пряму.
  • Будь-яка пряма містить щонайменше дві різні точки.

У частково лінійному просторі також правильно, що будь-яка пара різних прямих перетинаються максимум в одній точці. Це твердження не включається в аксіоми, оскільки легко доводиться з першої аксіоми.

Подальші обмеження задаються умовами регулярності:

RLk: Кожна пряма інцидентна одному й тому ж числу точок. Якщо це число скінченне, воно часто позначається як Шаблон:Math.

RPr: Кожна точка інцидентна одному й тому ж числу прямих. Якщо це число скінченне, його часто позначають як Шаблон:Math.

З другої аксіоми частково лінійного простору слідує, що Шаблон:Math. Жодна з умов регулярності не випливає з іншої, тому слід прийняти Шаблон:Math.

Скінченний частково лінійний простір, що задовольняє обом умовам регулярності з Шаблон:Math, називається тактичною конфігурацієюШаблон:Sfn. Деякі автори називають такі конфігурації просто конфігураціямиШаблон:Sfn або проєктивними конфігураціямиШаблон:Sfn. Якщо тактична конфігурація має Шаблон:Math точок і Шаблон:Math прямих, то, після подвійного підрахунку прапорів, виходить співвідношення Шаблон:Math. Зазвичай використовується позначення Шаблон:Math-конфігурація. В особливому випадку, коли Шаблон:Math (а тому, Шаблон:Math), замість позначення Шаблон:Math часто пишуть просто Шаблон:Math.

Найпростіший нетривіальний лінійний простір

Лінійний простір є частково лінійним простором, таким, щоШаблон:Sfn:

  • Будь-яка пара різних точок визначає рівно одну пряму.

Деякі автори додають аксіому «невиродженості» (або «нетривіальності») до визначення (часткового) лінійного простору, таку як:

  • Існують принаймні дві різні прямі[3].

Аксіома невиродженості дозволяє виключити деякі дуже маленькі приклади (переважно ті, в яких множини Шаблон:Math або Шаблон:Math складаються менш ніж з двох елементів), які були б винятками в загальних твердженнях про структури інцидентності. Альтернативний підхід — вважати структури інцидентності, що не задовольняють аксіомі невиродженості тривіальними, а ті, що задовольняють — нетривіальними.

Будь-який нетривіальний лінійний простір містить щонайменше три точки і три прямі, так що найпростіший нетривіальний лінійний простір — трикутник.

Лінійний простір, що має принаймні три точки на кожній прямій, є конфігурацією Сильвестра – Галлаї.

Основні геометричні приклади

Деякі з базових понять і термінів виникають з геометричних прикладів, особливо із проєктивних площин і афінних площин.

Проєктивні площини

Проєктивна площина — це лінійний простір, у якому:

  • будь-яка пара різних прямих перетинаються рівно в одній точці;
  • виконується умова невиродженості — існує чотири точки, жодні три з яких не колінеарні.

На проєктивних площинах існує бієкція між Шаблон:Math і Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math є скінченною множиною, про проєктивну площину кажуть як про скінченну проєктивну площину. Порядок скінченної проєктивної площини дорівнює Шаблон:Math, тобто на одиницю менший від числа точок на прямій. Всі відомі проєктивні площини мають порядки, рівні степеню простого числа. Проєктивна площину порядку Шаблон:Math є конфігурацією Шаблон:Math.

Найменша проєктивна площина має порядок два і відома як площина Фано.

Проєктивна площина порядку 2 — площина Фано

Площина Фано

Ця знаменита геометрія інцидентності була розроблена італійським математиком Джино Фано. У його роботіШаблон:Sfn з доведення незалежності множини аксіом для проєктивного n-простору, яку він розробляв[4], він створив скінченний тривимірний простір з 15 точками, 35 прямими і 15 площинами, в якому кожна пряма містить тільки три точки[5]. Площини в цьому просторі складаються з семи точок і семи прямих, які відомі як площини Фано.

Площина Фано не може бути подана на евклідовій площині з використанням тільки точок і відрізків (тобто нереалізовна). Це випливає з теореми Сильвестра.

Повний чотирикутник складається з чотирьох точок, жодні три з яких не колінеарні. На площині Фано три точки, що не належать повному чотирикутнику, є діагональними точками чотирикутника і колінеарні. Це суперечить аксіомі Фано, часто використовуваної в аксіоматизації евклідової площини, яка стверджує, що три діагональні точки повного чотирикутника ніколи не колінеарні.

Афінні площини

Афінна площина — це лінійний простір, у якому:

Про прямі Шаблон:Math і Шаблон:Math у твердженні аксіоми Плейфера кажуть як про паралельні. Будь-яка афінна площина може бути єдиним чином розширена до проєктивної площини. Порядок скінченної афінної площини дорівнює Шаблон:Math, числу точок на прямій. Афінна площина порядку Шаблон:Math є конфігурацією Шаблон:Math.

Афінна площина порядку 3
(Конфігурація Гессе)

Конфігурація Гессе

Афінна площина порядку три є конфігурацією Шаблон:Math. Якщо конфігурація вкладена в деякий охоплювальний простір, її називають Шаблон:Нп. Конфігурація нереалізовна на евклідовій площині, але реалізовна на комплексній проєктивній площині як дев'ять точок перегину еліптичної кривої з 12 прямими, інцидентними трійкам цих точок перегиба.

12 прямих можуть бути розбиті на чотири класи, всередині яких прямі попарно не перетинаються. Ці класи називаються класами паралельності прямих. Якщо додати ще чотири нові точки, по одній точці в кожен клас паралельності, і вважати, що всі прямі класу паралельності перетинаються в цій новій точці (таким чином, тепер всі прямі перетинаються), і додати ще одну пряму, яка містить всі чотири нові точки, отримаємо проєктивну площину порядку три, конфігурацію Шаблон:Math. У зворотний бік, почавши з проєктивної площини порядку три (така площина єдина) і видаливши будь-яку (одну) пряму і всі точки, що лежать на ній, отримаємо афінну площину порядку три (вона теж єдина).

Видалення однієї точки і чотирьох прямих, що проходять через неї (але не інші точки на цій прямій), отримаємо конфігурацію Шаблон:Math Мебіуса — Кантора.

Часткові геометрії

Шаблон:Докладніше

Часткова геометрія pg(2,2,1)

Якщо задано ціле число Шаблон:Math, тактична конфігурація, що задовольняє аксиомі:

називається частковою геометрією. Якщо існує Шаблон:Math точок на прямій і Шаблон:Math прямих проходять через точку, позначення цієї часткової геометрії — Шаблон:Math.

Якщо Шаблон:Math, ці часткові геометрії є узагальненими чотирикутниками.

Якщо Шаблон:Math, конфігурації називаються системами Штейнера.

Узагальнені многокутники

Шаблон:Докладніше Для Шаблон:Math[6], узагальнений Шаблон:Math-кутник — це частково лінійний простір, граф інцидентності якого Шаблон:Math має властивість:

Узагальнений 2-кутник — це структура інцидентності, яка не є частково лінійним простором, що складається щонайменше з двох точок і двох прямих, в якій кожна точка інцидентна кожній прямій. Графом інцидентності узагальненого 2-кутника є повний двочастковий граф.

Узагальнений Шаблон:Math-кутник не містить ніяких [[Многокутник|простих Шаблон:Math-кутників]] для Шаблон:Math і для кожної пари об'єктів (дві точки, дві прямі або точка з прямою) існує звичайний Шаблон:Math-кутник, що містить обидва об'єкти.

Узагальнені 3-кутники є проєктивними площинами. Узагальнені 4-сторонники називаються узагальненими чотирикутниками. За теоремою Фейта-Гіґмана існує тільки скінченне число узагальнених Шаблон:Math-кутників щонайменше з трьома точками на кожній прямій і трьома прямими, що проходять через кожну точку, і число Шаблон:Math дорівнює 2, 3, 4, 6 або 8.

Майже многокутники

Шаблон:Докладніше Для невід'ємних цілих Шаблон:Math майже Шаблон:Math-кутник — це структура інцидентності, така, що:

Майже 0-кутник — це точка, а майже 2-кутник — пряма. Граф колінеарності майже 2-кутника — повний граф. Майже 4-кутник — це узагальнений чотирикутник (можливо, вироджений). Будь-який скінченний узагальнений многокутник, за винятком проєктивних площин, є тісним многокутником. Будь-який зв'язний двочастковий граф є майже многокутником і будь-який майже многокутник, що має рівно дві точки на кожній прямій, є зв'язним двочастинним графом. Також всі Шаблон:Нп є майже многокутниками.

Багато майже многокутників пов'язані з Шаблон:Нп, подібними до груп Матьє і Шаблон:Нп. Більше того, узагальнені 2d-кутники, пов'язані з групами лієвого типу, є особливими випадками майже 2d-кутників.

Площини Мебіуса

Шаблон:Докладніше Абстрактна площина Мебіуса (або інверсна площина) — це структура інцидентності, в якій, щоб уникнути можливої плутанини з термінологією класичного випадку, прямі називають циклами або блоками.

Конкретно: площина Мебіуса — це структура інцидентності точок і циклів, така, що:

Структура інцидентності, отримана з будь-якої точки Шаблон:Math площини Мебіуса шляхом вибору як точок всіх точок, відмінних від Шаблон:Math, а як прямих вибору тільки тих циклів, які містять Шаблон:Math (з видаленою Шаблон:Math), є афінною площиною. Ця структура називається залишком Шаблон:Math в теорії схем.

Скінченна площина Мебіуса порядку Шаблон:Math — це тактична конфігурація з Шаблон:Math точками в кожному циклі, яка є 3-дизайном, блок-схемою Шаблон:Math

Теореми інцидентності на евклідовій площині

Теорема Сильвестра

Шаблон:Докладніше Питання, поставлене Д. Д. Сильвестром у 1893 році і, нарешті, доведене Шаблон:Нп, стосується інцидентності скінченного числа точок на евклідовій площині.

Теорема (Сильвестр — Галлаї): точки скінченної множини точок на евклідовій площині або колінеарні, або існує пряма, інцидентна рівно двом точкам.

Пряма, що містить рівно дві точки, називається в цьому контексті звичайною прямою. Сильвестр, можливо, прийшов до цього питання, коли обмірковував вкладаність конфігурації Гессе.

Теорема де Брейна — Ердеша

Шаблон:Докладніше Пов'язаний результат — теорема де Брейна — Ердеша. Ніколас де Брейн і Пал Ердеш довели результат у більш загальних умовах проєктивної площини, але результат залишається правильним на евклідовій площині. Теорема гласить:[7]

На проєктивній площині будь-яка множина Шаблон:Math неколінеарних точок визначає щонайменше Шаблон:Math різних прямих.

Як зазначили автори, оскільки їхнє доведення було комбінаторним, результат виконується в більш сильних умовах, фактично в будь-якій геометрії інцидентності. Вони також згадали, що версія для евклідової площини може бути доведена з теореми Сильвестра — Галлаї за допомогою індукції.

Теорема Семереді — Троттера

Шаблон:Докладніше Границя числа прапорів, визначена скінченною множиною точок і прямих, визначається теоремою:

Теорема (Семереді — Троттер): Якщо задано Шаблон:Math точок і Шаблон:Math прямих на площині, кількість прапорів (пар інцидентності точка-пряма) дорівнює:

O(n23m23+n+m),

і ця границя не може бути поліпшена.

Цей результат можна використовувати для доведення теореми Бека.

Теорема Бека

Теорема Бека стверджує, що скінченні набори точок на площині розпадаються на два крайні випадки — в одних наборах всі точки лежать на одній прямій, а в інших потрібне велике число прямих для з'єднання всіх точок.

Теорема стверджує, що існують додатні константи Шаблон:Math, такі, що, якщо задано Шаблон:Math точок на площині, принаймні одне з таких тверджень істинне:

  1. Існує пряма, що містить щонайменше n/C точок.
  2. Існує щонайменше n2/K прямих, кожна з яких містить щонайменше дві точки.

В початкових доведеннях Бека Шаблон:Math дорівнює 100, а Шаблон:Math є невизначеною константою. Оптимальні значения Шаблон:Math и Шаблон:Math невідомі.

Інші приклади

Див. також

Примітки

Шаблон:Reflist

Література

Посилання

  1. ↑ Так, наприклад, робить Л. Сторме в главі про скінченну геометрію в книзі Шаблон:Harvard citation
  2. ↑ Технічно, це структура інцидентності рангу 2, де ранг стосується типів об'єктів розгляду (тут — точки і прямі). Структури вищих рангів також вивчаються, але деякі автори обмежують себе рангом 2 і ми зробимо так само.
  3. ↑ Існує кілька альтернативних аксіом такої «нетривіальності». Аксіома може бути замінена на «існує три точки, що не лежать на одній прямій», як в книзі Баттена і Бойтельшпахера Шаблон:Harvard citation. Є інші варіанти, але у всіх має бути присутнім твердження існування, яке виключає занадто прості випадки.
  4. ↑ Шаблон:Harvnb
  5. ↑ Шаблон:Harvnb, Finite Geometries? an AMS Featured Column
  6. ↑ Використання Шаблон:Math в імені є стандартним і не слід плутати це число з числом точок у конфігурації.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. Шаблон:Webarchive, «de Bruijn–Erdős Theorem» Шаблон:Webarchive на MathWorld Шаблон:Webarchive
Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Геометрія_інцидентності&oldid=8087