Аналітичний поліедр

У математиці, зокрема теорії функцій багатьох комплексних змінних, аналітичним поліедром називається підмножина комплексного простору Шаблон:Math, яку можна розглядати як узагальнення многогранників у дійсних просторах.

Аналітичні поліедри є областями голоморфності і є важливими у вивченні загальних областей голоморфності.

Означення

Нехай Шаблон:Math є областю (тобто зв’язаною відкритою підмножиною) у просторі Шаблон:Math, а $f_j$ — скінченною кількістю функцій, голоморфних на Шаблон:Math.

Якщо множина

$P=\{z\in D:|f_j(z)|<1,1⩽j⩽N\}$

є відносно компактною у Шаблон:Math, то Шаблон:Math називається аналітичним поліедром.

Якщо $f_j$ вище є многочленами, то ця множина називається поліноміальним поліедром.

Властивості

• Кожен аналітичний поліедр є областю голоморфності і, таким чином, є псевдоопуклою множиною.

Якщо точка $w$ є граничною точкою для аналітичного поліедра Шаблон:Math, то $|f_k(w)|=1$ для деякого k із означення. Тоді функція $g(z):=\frac{1}{f_k(z)-f_k(w)}$ є голоморфною на P, але виродженою в точці $w$. Зважаючи на довільність вибору, звідси випливає, що для кожної граничної точки існує функція, що є голоморфною на P, але виродженою в точці. Тому за означенням P є областю голоморфності.

• Аналітичний поліедр P є областю Бергмана.
• Нехай Шаблон:Math є областю голоморфності у просторі Шаблон:Math і Шаблон:Math — відносно компактна підмножина у Шаблон:Math. Якщо $\hat{K}$ є голоморфно опуклою оболонкою множини Шаблон:Math і $D_0$ є відкритою множиною, що містить $\hat{K}$ як відносно компактну підмножину і сама є відносно компактною підмножиною у Шаблон:Math, то існує аналітичний поліедр P , для якого $\hat{K}\subset P\subset D_0.$ При цьому $\hat{K}$ є відносно компактною підмножиною у P і P є відносно компактною у $D_0$.

Якщо точка $w$ є граничною точкою для $D_0$, то існує голоморфна на Шаблон:Math функція $g_w$ для якої $|g_w(w)|>1$ і $|g_w(z)|<1$ для всіх $z\in \hat{K}.$ Також можна обрати окіл $N_w$ точки $w$ для якого $|g_w(z)|>1$ для всіх $z\in N_w.$ Але границя множини $D_0$ є компактною тому існує скінченна послідовність $w_1,\dots ,w_n$ точок, околи яких $N_{w_1},\dots ,N_{w_n}$ покривають цю границю. Тоді аналітичний поліедр визначений як $P:=\{z\in D_0:|g_{w_j}(z)|<1,j\in 1,\dots ,n\}$ задовольняє умови твердження.

• Нехай Шаблон:Math є областю голоморфності у просторі Шаблон:Math. Тоді існує зростаюча послідовність аналітичних поліедрів $P_j$, така що $P_j$ є відносно компактною підмножиною у $P_{j+1}$ і $D=\underset{j=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{P}_j.$

Для Шаблон:Math можна вибрати зростаючу послідовність відкритих підмножин $D_j$, така що $D_j$ є відносно компактною підмножиною у $D_{j+1}$ і $D=\underset{j=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{D}_j.$ Якщо розглядати голоморфно опуклі оболонки ${\hat{D}}_j$ то їх об'єднання теж є рівним Шаблон:Math. Окрім того, із того, що Шаблон:Math є областю голоморфності, кожен ${\hat{D}}_j$ є компактною підмножиною і міститься у деякій множині $D_k$, де $k>j$. Тому можна обрати таку підпослідовність ${\hat{D}}_j$, що ${\hat{D}}_j\subset D_{j+1}\subset {\hat{D}}_{j+1}$ і всі включення є відносно компактними. Згідно з попередньою властивістю в цю послідовність між ${\hat{D}}_j$ і $D_{j+1}$ можна також включити аналітичний поліедр $P_j$ і всі включення будуть відносно компактними. Послідовність $P_j$ задовольняє умови твердження.

• Границя аналітичного многогранника міститься в об'єднанні множини гіперповерхонь

${\sigma }_j=\{z\in D:|f_j(z)|=1\},1⩽j⩽N.$

• Аналітичний поліедр є «поліедром Вейля», або областю Вейля, якщо перетин будь-якої Шаблон:Math із зазначених вище гіперповерхонь має розмірність не більше, ніж Шаблон:Math.

Див. також

• Область голоморфності

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation (also available as Шаблон:ISBN).
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.