Голоморфно опукла оболонка

У математиці, зокрема у комплексному аналізі, голоморфно опуклою оболонкою даної компактної множини у n-вимірному комплексному просторі ${ℂ}^n$ є аналогом опуклої оболонки де замість лінійних функцій беруться голоморфні.

Означення

Нехай $G\subset {ℂ}^n$ — область (відкрита і зв'язана множина) або $n$ вимірний комплексний многовид. Нехай $𝒪(G)$ позначає множину голоморфних функцій на $G.$ Для підмножини $K\subset G$, голоморфно опуклою оболонкою $K$ є

${\hat{K}}_G:=\{z\in G||f(z)|⩽\underset{w\in K}{\sup }|f(w)|\text{ for all }f\in 𝒪(G)\}.$

Якщо замість $𝒪(G)$ взяти деяку довільну сім'ю функцій $F$, то подібним чином задана множина називається F-опуклою оболонкою. Зокрема для випадку лінійних функцій на ${ℂ}^n$ одержується стандартна опукла оболонка. Ще одним важливим прикладом є коли $F$ є множиною поліноміальних функцій на G. Тоді ця оболонка називається поліноміально опуклою оболонкою. Поліноміально опукла оболонка містить голоморфно опуклу оболонку.

Область $G$ називається голоморфно опуклою якщо для кожної компактної підмножини $K\subset G$ голоморфно опукла оболонка ${\hat{K}}_G$ у ${ℂ}^n$ теж є компактною підмножиною у $G$. Мотивацією для даного означення є випадок звичайних опуклих множин. У цьому випадку відкрита зв'язана підмножина ${ℝ}^n$ чи ${ℂ}^n$ є опуклою тоді і тільки тоді, коли замикання опуклої оболонки будь-якої її компактної підмножини теж є її компактною підмножиною.

Аналогічно вводиться поняття F-голоморфно опуклої області для деякої сім'ї функцій $F.$

Приклади

• Кожна опукла область $G\subset {ℂ}^n$ є також голоморфно опуклою.

Якщо $K\subset G$ і $z\in G\setminus {\overline{K}}_G,$ де ${\overline{K}}_G$ — опукла оболонка $K$ у $G,$ то існує лінійна функція $l:{ℂ}^n\to ℝ$ (де ${ℂ}^n$ розглядається як дійсний простір розмірності $2n$) для якої $l(z)>\underset{w\in K}{\sup }l(w)$

Якщо $z=(z_1,\dots ,z_n)$, де $z_k=x_k+i{y}_k$, то за означенням $l(z)={\sum }_{k=1}^n{a}_k{x}_k+b_k{y}_k+c.$ Окрім того оскільки важливим є лише порівняння значення цієї функції для різних точок, можна вважати, що $c=0$. Тоді якщо позначити $d_k=a_k-i{b}_k,$ то також $l(z)=\mathrm{\Re }\left({\sum }_{k=1}^n{d}_k{z}_k\right)=\mathrm{\Re }L(z),$ де $L(z)$ — відповідна комплексна лінійна функція. Навпаки кожна дійсна лінійна функція у такий спосіб одержується як дійсна частина комплексної лінійної функції.

Оскільки для будь-якого комплексного числа $A$ згідно означення експоненти: $|e^A|=\mathrm{\Re }A,$ то звідси $l(z)=\left|e^{L(z)}\right|.$ Отож $z\in G\setminus {\overline{K}}_G,$ якщо і тільки якщо $\left|e^{L(z)}\right|>\underset{w\in K}{\sup }\left|e^{L(z)}\right|$ для деякої комплексної лінійної однорідної функції $L(z).$

Але функції $e^{L(z)}$ є голоморфними на $G,$ а тому також $z\in ̸{\hat{K}}_G.$ Тобто голоморфно опукла оболонка є підмножиною опуклої оболонки і тому якщо ${\overline{K}}_G$ є компактною підмножиною $G,$ то ${\hat{K}}_G$ як замкнута підмножина компактної множини є компактною.

• Будь-яка область $G\subset ℂ$ є голоморфно опуклою.

Нехай $K\subset G$ — компактна підмножина. Вона є обмеженою і за властивостями голоморфно опуклої оболонки ${\hat{K}}_G$ теж є обмеженою. Позначимо її замикання у $ℂ$ як $K_1.$ Тоді $K_1$ є компактною множиною і потрібно довести, що $K_1\subset G.$ Припустимо, що $z_0\in K_1\setminus G.$ Тоді $z_0\in \partial K_1\cap \partial G$ і функція $f(z)=1/(z-z_0)$ є голоморфною у $G.$ Існує послідовність $z_i\in {\hat{K}}_G,$ що прямує до $z_0.$ Із означення голоморфно опуклої оболонки $|f(z_i)|⩽\underset{w\in K}{\sup }|f(w)|<\mathrm{\infty },$ оскільки $K$ — компактна підмножина. Але це неможливо оскільки очевидно $f(z_i)=1/(z_i-z_0)$ є необмеженою послідовністю.

Властивості

• $K\subset {\hat{K}}_G.$
• ${\hat{K}}_G$ є замкнутою підмножиною у $G$ (але не обов'язково у${ℂ}^n$).
• ${\widehat{({\hat{K}}_G)}}_G={\hat{K}}_G.$
• Якщо $K_1\subset K_2\subset G,$ то ${\widehat{K_1}}_G\subset {\widehat{K_2}}_G.$
• Якщо $K$ є обмеженою множиною, то ${\hat{K}}_G$ теж є обмеженою.
• Область $G\subset {ℂ}^n$ є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо для кожної нескінченної множини $D\subset G,$ що не має граничних точок у $G$ існує функція $f\in 𝒪(G),$ що є необмеженою на множині $D.$
• Область $G\subset {ℂ}^n$ є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо вона є областю голоморфності (теорема Картана — Тюллена).

Див. також

• Голоморфна функція
• Опукла оболонка

Література

• Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.