Алгебрична теорія графів
Алгебрична теорія графів — напрямок у теорії графів, що застосовує алгебричні методи до теоретико-графових задач (на додачу до Шаблон:Не перекладено, комбінаторного та алгоритмічного напрямків). У свою чергу, алгебрична теорія графів поділяється на три гілки: лінійно-алгебричнуШаблон:Перехід, теоретико-груповуШаблон:Перехід і вивчає інваріанти графівШаблон:Перехід.
Лінійна алгебра
Шаблон:Докладніше Характерний представник лінійно-алгебричної гілки — спектральна теорія графів, у якій вивчають спектри матриці суміжності або матриці Кірхгофа графа. Для графа Петерсена, наприклад, спектр матриці суміжності дорівнює (-2, -2, -2, -2, 1, 1, 1, 1, 1, 3). Деякі теореми пов'язують властивості спектра з іншими інваріантами графа. Простий приклад: зв'язний граф з діаметром матиме щонайменше різних значень у своєму спектріШаблон:Sfn. Властивості спектра графа використовують для аналізу синхронізованості мереж.
Теорія груп
Шаблон:Докладніше У теорико-груповій гілці використовують методи загальної алгебри та алгебричної комбінаторики, а також геометричну теорію груп; одна з основних досліджуваних конструкцій — автоморфізми графів (утворюють групу). Увага приділяється різним сімействам графів, заснованих на симетрії (такі як симетричні графи, вершинно-транзитивні графи, реберно-транзитивні графи, дистанційно-транзитивні графи, дистанційно-регулярні графи і сильно регулярні графи), та зв'язків між цими сімействами. Деякі з цих категорій містять мале число графів, так що їх можна перерахувати. За теоремою Фрухта всі групи можна подати як групи автоморфізмів зв'язних графів (більше того, кубічних графів)Шаблон:Sfn. Інший зв'язок з теорією груп — якщо задано будь-яку групу, можна утворити графи, відомі як графи Келі, і вони мають властивості, пов'язані зі структурою графаШаблон:Sfn.
Групова гілка тісно пов'язана з лінійно-алгебричною, оскільки властивості симетрії графа відбиваються в його спектрі. Зокрема, спектр графа з високою симетрією, такого як граф Петерсена, має мало різних власних значеньШаблон:Sfn (у графа Петерсена 3 значення, що є найменшим можливим числом для графа з таким діаметром, як у графа Петерсена). Для графів Келі спектр може бути пов'язаний прямо зі структурою групи, зокрема, з її незвідними представленнямиШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Інваріанти графів
Шаблон:Докладніше Алгебричні властивості інваріантів графів, таких, як хроматичні многочлени, многочлени Татта, інваріанти вузлів, дозволяють вивчати структуру графів алгебричними засобами. Наприклад, хроматичний многочлен графа, підраховує число його правильних розмальовок вершин; для графа Петерсена цей многочлен дорівнює:
зокрема, це означає, що граф Петерсена можна розфарбувати правильно одним або двома кольорами, але трьома кольорами його можна розфарбувати 120 різними способами. Багато робіт у цій галузі пов'язано зі спробами довести теорему про чотири фарби. Залишається багато відкритих питань, пов'язаних з інваріантами, наприклад, таких, як визначення графів, що мають той самий хроматичний многочлен, і визначення, які многочлени є хроматичними.