Адитивна теорія чисел

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Адитивна теорія чисел — розділ теорії чисел, що виник під час вивчення задач про розкладання цілих чисел на складові заданого виглядуШаблон:Sfn (наприклад, на прості числа, фігурні числа, n−і степені тощо).

Серед класичних проблем, дослідження яких заклало фундамент адитивної теорії чисел, можна назвати такі:

Сучасна адитивна теорія чисел включає широке коло задач дослідження абелевих груп і комутативних напівгруп з операцією додаванняШаблон:Sfn. Адитивна теорія чисел тісно пов'язана з комбінаторною теорією чисел (особливо з адитивною комбінаторикою)Шаблон:Sfn і з геометрією чисел, у ній застосовуються аналітичні, алгебричні й імовірнісні методи. В залежності від методів розв'язування, адитивні задачі входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел — аналітичну теорію чисел, теорію алгебричних чисел, Шаблон:Не перекладено.

Історія

Перші систематичні результати в адитивній теорії чисел отримав Леонард Ейлер, який опублікував у 1748 році дослідження (за допомогою степеневих рядів) розкладання натуральних чисел на натуральні доданки; зокрема, він розглянув задачу про розкладання числа на задану кількість доданків і довів Шаблон:Не перекладено[1]. У цей же період виникли дві класичні проблеми адитивного типу: проблема Гольдбаха і проблема Воринга, надалі з'явилися десятки нових проблем. Їх вирішення ускладнюється тим, що у формулюваннях одночасно беруть участь кілька базових операцій над натуральними числами — ділення, за допомогою якого визначаються прості числа, множення, яке формує квадрати, куби тощо і додавання.

Для багатьох із цих проблем виявилися корисними такі загальні інструменти, як коловий метод Гарді – Літтлвуда, Шаблон:Не перекладеноШаблон:Sfn та метод тригонометричних сум В. М. Виноградова. Гільберт довів[2], що для будь-якого цілого числа k>1 будь-яке натуральне число є сумою обмеженого числа доданків у степені k. Лев Шнірельман у 1930 році ввів поняття щільності послідовності натуральних чисел, що дозволило істотно просунутися у вирішенні проблеми Гольдбаха і довести узагальнену теорему Воринга[3].

Григорій Фрейман 1964 року довів важливу Шаблон:Не перекладено з галузі адитивної комбінаторики.

Сучасний стан

Підмножина B називається (асимптотичним) Шаблон:Не перекладено[4] скінченного порядку h, якщо будь-яке досить велике натуральне число n можна записати як суму не більше ніж h елементів B. Наприклад, натуральні числа самі є адитивним базисом порядку 1, оскільки кожне натуральне число тривіально є сумою не більше ніж одного натурального числа. Менш тривіальна теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів, яка показала, що множина квадратних чисел є адитивним базисом четвертого порядку. Інший вельми нетривіальний і широко відомий результат у цьому напрямку — Шаблон:Не перекладено про те, що будь-яке досить велике непарне натуральне число можна подати як суму трьох простих чисел[5].

Багато сучасних досліджень у цій галузі стосуються загальних властивостей асимптотичних базисів скінченного порядку. Наприклад, множина A називається мінімальним асимптотичних базисом порядку h, якщо A є асимптотичним базисом порядку h, але ніяка власна підмножина A не є асимптотичним базисом порядку h. Доведено[6], що мінімальні асимптотичні базиси порядку h існують для будь-якого h, а також існують асимптотичні базиси порядку h, що не містять мінімальних асимптотичних базисів порядку h.

Розглядається також проблема — наскільки можна зменшити кількість подань n у вигляді суми h елементів асимптотичного базису. Цьому присвячена досі не доведена Шаблон:Не перекладено (1941)[7].

Див. також

Примітки

Шаблон:Примітки

Література

Посилання

Шаблон:Бібліоінформація Шаблон:Розділи математики

  1. ↑ On Euler's Pentagonal Theorem Шаблон:Webarchive at MathPages.
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Книга
  4. ↑ Шаблон:Citation
  5. ↑ Шаблон:Книга
  6. ↑ Шаблон:Публікація
  7. ↑ Шаблон:Публікація
Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Адитивна_теорія_чисел&oldid=8792