Ядро інтегрального оператора

Ядро́м інтегра́льного опера́тора (ядро Фредгольма) — функція двох аргументів $K(x,y)$, яка визначає деякий інтегральний оператор $𝒜$ рівністю

$\phi (y)=𝒜[\phi (x)]=\int K(x,y)\phi (x)d\mu (x),$

де $x\in 𝕏$ — простір з мірою $d\mu (x)$, а $\phi (x)$ належить деякому простору функцій, визначених на $𝕏$ .

Приклади

• Ядро $K(x,y)$ називають $L_2$-ядром, якщо воно задовольняє умові:

$\underset{D}{\int }\underset{D}{\int }|K(x,y){|}^{2}dxdy<+\mathrm{\infty },$

де $K(x,y)$ — вимірна на $D$ функція.

Такі ядра є основним предметом розгляду теорії інтегральних рівнянь.

• Ядро, що задовольняє умові:

$K(x,y)\equiv 0$ при $y>x$

називають ядром Вольтерри.

• Симетричне ядро — ядро, для якого виконується тотожність $K(x,y)=K(y,x)$.
• Якщо виконується тотожність $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$, де $\overline{K(y,x)}$ — комплексно спряжене до $K(x,y)$, таке ядро називають ермітовим.
• Якщо ядро $K(x,y)$ допускає розклад вигляду:

$K(x,y)=\sum _{k=1}^n{X}_k(x)Y_k(y),$

де $\{X_i(x)\},\{Y_i(y)\}$$(i=1,2,\dots ,n)$ — дві системи лінійно незалежних інтегрованих з квадратом функцій ($L_2$-функцій), таке ядро називають ядром Шаблон:Нп — Ґурса або PG-ядром.

Пов'язані визначення

• Спектром ядра називають множину його власних значень.

Теорема Мерсера

Теорема Шаблон:Iw про розкладання ядра стверджує:Шаблон:Теорема

Див. також

• Характеристичне число (інтегральні рівняння)

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1