Теорема Юнга

Теорема Юнга — нерівність між діаметром і радіусом множини точок у будь-якому евклідовому просторі. Названо на честь Генріха Юнга.

Формулювання

Нехай $K\subset {ℝ}^n$ — компактна множина діаметра $d$; тобто,

$d=\underset{p,q\in K}{\max }\{\Vert p-q\Vert \}$

Тоді існує замкнута куля з радіусом

$r\le d\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}},$

яка містить $K$. Рівність досягається для правильного n-симплекса.

2-вимірний випадок

Найпоширенішим є випадок площини, тобто $n=2$. У цьому випадку нерівність стверджує, що існує коло, яке охоплює всі точки, радіус яких задовольняє

$r\le \frac{d}{\sqrt{3}}.$

Рівність досягається для рівностороннього трикутника

$r=\frac{d}{\sqrt{3}}.$

Варіації та узагальнення

Загальні метричні простори

Для будь-якої обмеженої множини $K$ у будь-якому метричному просторі виконується

$\frac{d}{2}\le r\le d$

Перша нерівність випливає з нерівності трикутника для центра кулі та двох діаметральних точок. Друга випливає з того, що куля радіуса d центрована в будь-якій точці $K$, містить всю $K$.

У дискретному метричному просторі, тобто просторі, в якому відстані між будь-якою парою різних точок рівні, досягається друга нерівність. Перша нерівність досягається в ін'єктивних просторах, таких як мангеттенськ відстань на площині.

Див. також

• Нерівність Юнга

Література

• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:Mathworld