Ряд обернених до простих чисел

Сума величин, обернених до простих чисел, необмежено зростає. Вісь x подано в логарифмічному масштабі, що показує, що розбіжність дуже повільна. Червона лінія є нижньою оцінкою і теж зростає необмежено.

Ряд обернених простих чисел розбіжний. Тобто:

$\sum _{p\text{ prime}}\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\cdots =\mathrm{\infty }$

Цей факт довів Леонард Ейлер 1737 рокуШаблон:Sfn, що посилило результат Евкліда (III століття до н. е.), що існує нескінченно багато простих чисел.

Існує низка доведень результату Ейлера, включно з оцінкою нижньої межі часткових сум, яка стверджує, що

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\text{ prime}}{p\le n}}\frac{1}{p}⩾\ln \ln (n+1)-\ln \frac{{\pi }^2}{6}$

для всіх натуральних чисел Шаблон:Mvar. Подвійний натуральний логарифм (ln ln) свідчить про те, що розбіжність ряду дуже повільна. Див. статтю Константа Майсселя — Мертенса.

Гармонічний ряд

Розбіжність даного ряду довів Ейлер. Для цього він розглянув гармонічний ряд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots =\mathrm{\infty }$

А також таку «тотожність», за допомогою якої він також показав, що множина простих чисел нескінченна:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\prod _p(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots )=\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}$

Тут добуток береться за всіма простими числами. Такі нескінченні добутки сьогодні називають Шаблон:Не перекладено. Добуток вище є відображенням основної теореми арифметики. Ейлер зауважив, що якби кількість простих чисел була скінченною, то добуток праворуч мав би збігатися, що суперечить розбіжності гармонічного ряду.

Доведення

Доведення Ейлера

Продовжуючи міркування, описані вище, Ейлер взяв натуральний логарифм від кожного з боків. Потім він використав розклад у ряд Тейлора $-\ln (1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\dots$, а також збіжність обернених степеневих рядів:

$\begin{array}{cc}\ln \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\right)& =\ln \left(\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=-\sum _p\ln (1-\frac{1}{p})\\ & =\sum _p(\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\cdots )\\ & =\sum _p\frac{1}{p}+\frac{1}{2}\sum _p\frac{1}{p^2}+\frac{1}{3}\sum _p\frac{1}{p^3}+\frac{1}{4}\sum _p\frac{1}{p^4}+\cdots \\ & =A+\frac{1}{2}B+\frac{1}{3}C+\frac{1}{4}D+\cdots \\ & =A+K\end{array}$

з фіксованою константою Шаблон:Math. Потім він використав властивість

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\ln \mathrm{\infty },$

виведення якої від пояснив, наприклад, у пізнішій роботі 1748 рокуШаблон:Sfn, присвоєнням Шаблон:Math у розкладі Тейлора

$\ln \left(\frac{1}{1-x}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}.$

Це дозволило йому зробити висновок, що

$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots =\ln \ln \mathrm{\infty }.$

Імовірно, Ейлер мав на увазі, що сума величин, обернених до простих чисел менших від Шаблон:Mvar, асимптотично зростає як Шаблон:Math при прямуванні Шаблон:Mvar до нескінченності. Виявилося, що це справді так і точнішу версію цього факту строго довів Франц Мертенс 1874 рокуШаблон:Sfn. Ейлер же отримав правильний результат за допомогою нестрогих методів.

Доведення Ердеша оціненням зверху і знизу

Наступне доведення від супротивного належить Палу Ердешу.

Нехай Шаблон:Mvar означає Шаблон:Mvar-е просте число. Уявімо, що сума величин, обернених до простих чисел, збіжна. Тобто,

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}<\mathrm{\infty }$

Тоді існує найменше додатне ціле число Шаблон:Mvar, таке, що

$\sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}<\frac{1}{2}(1)$

Для додатного цілого Шаблон:Mvar нехай Шаблон:Mvar означає множину Шаблон:Mvar з набору Шаблон:Math, які не діляться на будь-яке просте, більше від Шаблон:Mvar (або, еквівалентно, всі $n⩽x$, які є добутком ступенів простих чисел $p_i⩽p_k$). Ми можемо тепер вивести верхню і нижню оцінку $|M_x|$, числа елементів у $M_x$. Для великих Шаблон:Mvar ці межі приводять до суперечності.

Оцінка зверху:

Будь-яке Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar можна записати у вигляді $n=m^{2}r$ з додатними цілими Шаблон:Mvar іШаблон:Mvar деШаблон:Mvar — вільне від квадратів число. Бо тільки Шаблон:Mvar простих $p_1,\dots ,p_k$ може бути (з показником 1) у розкладі на прості числа Шаблон:Mvar, є не більше Шаблон:Math різних можливостей для Шаблон:Mvar. Більш того, є не більше $\sqrt{x}$ можливих значень для Шаблон:Mvar. Це дає верхню оцінку

$|M_x|\le 2^k\sqrt{x}(2)$

Оцінка знизу:

Решта $x-|M_x|$ чисел у різниці множинШаблон:Math всі діляться на прості числа, більші від $p_k$. Нехай $N_{i,x}$ означає множину таких Шаблон:Mvar зШаблон:Math, які діляться наШаблон:Mvar-е просте $p_i$. Тоді

$\{1,2,\dots ,x\}\setminus M_x=\bigcup _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}{N}_{i,x}$

Оскільки число цілих чисел $N_{i,x}$ не перевершує $\frac{x}{p_i}$ (насправді, дорівнює нулю для $p_i>x$), отримуємо

$x-|M_x|⩽\sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{p_i}$

Використовуючи (1), звідси отримуємо

$\frac{x}{2}<|M_x|(3)$

Маємо суперечність: якщо $x⩾2^{2k+2}$, оцінки (2) та (3) не можуть виконуватися одночасно, оскільки $\frac{x}{2}⩾2^k\sqrt{x}$ .

Доведення того, що ряд зростає зі швидкістю log-log

Існує інше доведення, яке дає нижню оцінку часткових сум. Зокрема, показує, що ці суми зростають щонайменше як Шаблон:Math. Доведення є варіантом Ейлерової ідеї розкладання добутку. Далі в тексті суми або добутки Шаблон:Mvar завжди є сумами або добутками за певними множинами простих чисел.

Доведення спирається на чотири нерівності:

• Будь-яке додатне цілеШаблон:Mvar можна єдиним чином подати у вигляді добутку вільних від квадратів чисел та квадрата. Це дає нерівність

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}⩽\prod _{p\le n}(1+\frac{1}{p})\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ ,

де для будь-якогоШаблон:Mvar між 1 та Шаблон:Mvar (розкладений) добуток відповідає вільній від квадратів частині числаШаблон:Mvar, а сума відповідає квадратній частині числаШаблон:Mvar (див. статтю Основна теорема арифметики).

• Верхня оцінка натурального логарифма

$\begin{array}{cc}\ln (n+1)& =\underset{1}{\overset{n+1}{\int }}\frac{dx}{x}\\ & =\sum _{i=1}^n\underset{<\frac{1}{i}}{\underbrace{\underset{i}{\overset{i+1}{\int }}\frac{dx}{x}}}\\ & <\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\end{array}$

• Нижня оцінкаШаблон:Math для показникової функції виконується для всіх Шаблон:Math.
• Нехай $n⩾2$. Верхня межа (використовуємо телескопічний ряд) для часткових сум

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}& <1+\sum _{k=2}^n\underset{=\frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}>\frac{1}{k^2}}{\underbrace{(\frac{1}{k-\frac{1}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1}{2}})}}\\ & =1+\frac{2}{3}-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}<\frac{5}{3}\end{array}$

Комбінуючи всі ці нерівності, отримуємо

$\begin{array}{cc}\ln (n+1)& <\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\\ & \le \prod _{p\le n}(1+\frac{1}{p})\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\\ & <\frac{5}{3}\prod _{p\le n}\exp \left(\frac{1}{p}\right)\\ & =\frac{5}{3}\exp \left(\sum _{p\le n}\frac{1}{p}\right)\end{array}$

Після ділення на $\frac{5}{3}$ та взяття натурального логарифма від обох частин отримаємо

$\ln \ln (n+1)-\ln \frac{5}{3}<\sum _{p\le n}\frac{1}{p}$ ,

що й потрібно було довести. ∎

Використовуючи

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

(Див. Базельська задача), константу вище $\ln \frac{5}{3}=0,51082\dots$ можна покращити до $\ln \frac{{\pi }^2}{6}=0,4977\dots$ . Фактично, виявляється що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{p\le n}\frac{1}{p}-\ln \ln n)=M$ ,

де $M=0,261497\dots$ — стала Майсселя — Мертенса (щось подібне до відомішої сталої Ейлера — Маскероні).

Доведення з нерівності Дюзара

З нерівності Дюзара маємо

$p_n<n\ln n+n\ln \ln n$ для $n⩾6$

Тоді

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n}& ⩾\sum _{n=6}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n}\\ & ⩾\sum _{n=6}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n+n\ln \ln n}\\ & ⩾\sum _{n=6}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n\ln n}=\mathrm{\infty }\end{array}$

згідно з інтегральною ознакою збіжності Маклорена — Коші. Це показує, що ряд зліва розбіжний.

Часткові суми

Хоча часткові суми величин, обернених до простих чисел, врешті-решт перевищують будь-яке ціле значення, вони ніколи не можуть дорівнювати цілому числу.

Одне з доведеньШаблон:Sfn цього виконується за індукцією: перша часткова сума дорівнює $\frac{1}{2}$ і вона має вигляд $\frac{odd}{even}$ (тобто непарне/парне). Якщо Шаблон:Mvar-а часткова сума (для $n⩾1$) має вигляд $\frac{odd}{even}$, то $(n+1)$-а сума дорівнює

$\frac{\text{odd}}{\text{even}}+\frac{1}{p_{n+1}}=\frac{\text{odd}\cdot p_{n+1}+\text{even}}{\text{even}\cdot p_{n+1}}=\frac{\text{odd}+\text{even}}{\text{even}}=\frac{\text{odd}}{\text{even}}$

оскільки $(n+1)$-е просте число $p_{n+1}$ непарне. Оскільки сума знову має вигляд $\frac{odd}{even}$, часткова сума не може бути цілим числом (знаменник ділиться на 2, але чисельник не ділиться), що й доводить твердження.

В іншому доведенні вираз для суми значень, обернених до перших Шаблон:Mvar простих чисел, (або суми обернених значень будь-якої множини простих чисел) записується з найменшим спільним знаменником, який є добутком усіх цих простих чисел. Тоді кожне з цих простих чисел ділить усі члени чисельника, крім одного, а тому не ділить чисельник у цілому. Але кожне просте ділить знаменник. Таким чином, дріб нескоротний і не є цілим числом.

Див. також

• Теорема Евкліда, яка свідчить, що існує безліч простих чисел.
• Теорема Бруна про збіжність суми значень, обернених до простих чисел-близнюків, до константи Бруна.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття

Посилання

• Шаблон:Cite web