Теорема Веєрштрасса — Стоуна

Теорема Веєрштрасса — Стоуна — твердження про можливість подання будь-якої неперервної функції на гаусдорфовому компакті границею рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій особливого класу — алгебри СтоунаШаблон:Перехід.

Спочатку сформулював і довів 1885 року Карл Веєрштрасс для неперервних на відрізку дійсної прямої функцій, встановивши можливість їх рівномірно наблизити послідовністю многочленівШаблон:Перехід. 1937 року Маршалл Стоун істотно узагальнив результатШаблон:Перехід, поширивши результат на функції, неперервні на довільному T₂- відокремлюваному компактному просторі, що утворюють кільце, а як рівномірно збіжні послідовності функцій замість многочленів — функції зі специфічного підкласу неперервних функцій, що утворює підкільце.

Пізніше знайдено й інші узагальнення результатуШаблон:Перехід.

Теорема Веєрштрасса

Нехай $f$ — неперервна функція, визначена на відрізку $[a,b]$. Тоді для будь-якого $\epsilon >0$ існує такий многочлен $p$ з дійсними коефіцієнтами, що для всіх $x$ із $[a,b]$ одночасно виконано умову $|f(x)-p(x)|<\epsilon$.

Якщо $f(x)$ неперервна на крузі (періодична), то твердження істинне і для тригонометричних многочленів.

Теорема справедлива і для комплекснозначних функцій, але тоді коефіцієнти многочлена $p$ слід вважати комплексними числами.

Схема доведення Веєрштрасса

Теорему встановив Карл Веєрштрасс 1885 року як наслідок загальнішого твердження: для дійсних усюди визначених неперервних функцій $f(x)$ і $\psi (x)$, абсолютне значення яких не перевищує деякої межі, притому $\psi (x)$ ніде не змінює свого знака і задовольняє рівності $\psi (-x)=\psi (x)$ і для неї збігається інтеграл:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi (x)dx=\omega$,

виконується:

$f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to 0}\frac{1}{2k\omega }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi \left(\frac{x-y}{k}\right)f(y)dy$.

З прямого доведення зразу випливає, що границя не тільки існує і дорівнює $f(x)$, але й що збіжність рівномірна за $x$, що змінюється на будь-якому скінченному відрізку.

Взявши як $\psi (x)=e^{-x^2}$, кожна функція з сімейства:

$F_k(x)=\frac{1}{2k\omega }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi \left(\frac{x-y}{k}\right)f(y)dy$

цілком визначена за всіх комплексних $x$ і є цілою. Тому їх можна рівномірно в крузі будь-якого радіусу наблизити многочленами (теорема Абеля). Звідси зразу випливає, що будь-яку неперервну функцію $f(x)$ можна рівномірно наблизити многочленами на будь-якому скінченному інтервалі.

Якщо до того ж $f(x)$ — періодична функція з періодом $T$, то функції $F_k(x)$ є цілими періодичними функціями. Але тоді:

$F_k(\frac{T}{2\pi i}\ln z)$

є однозначною і голоморфною функцією в області $z=0$ і, отже, розкладається в ряд Лорана:

$F_k=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\exp \left(\frac{2\pi }{T}inx\right)$,

тож $F_k(x)$, а значить і $f(x)$ можна наблизити тригонометричними многочленами.

Значення результату Веєрштрасса

У середині XIX століття уявлення про функцію як аналітичний вираз здавалося повністю застарілим, а формований на базі інтегрального і диференціального числення аналіз оперував довільними функціями, так, Шаблон:Нп особливо відзначав: «про функцію $y$ від $x$ кажуть, коли кожному значенню змінної $x$, [що лежить] всередині деякого інтервалу, відповідає певне значення $y$; при цьому не суттєво, чи залежить $y$ від $x$ у всьому інтервалі за одним законом, і чи можна цю залежність виразити за допомогою математичних операцій», підкреслюючи, що не кожну функцію можна подати за допомогою аналітичного виразу. У відповідь на це Веєрштрасс і написав роботу «Про аналітичне подання так званих довільних функцій», в якій показано, що довільна неперервна функція є границею многочленів. Надалі з'ясувалося, що й самі «патологічні» функції, наприклад, функція Діріхле, допускають такого роду подання, але лише з великим числом граничних переходів.

Топологічні наслідки

Згідно з теоремою Вейєрштрасса простір неперервних дійсно- або комплекснозначних функцій на відрізку з рівномірною нормою сепарабельний: простір многочленів з раціональними або комплексно-раціональними коефіцієнтами є зліченним усюди щільним підпростором.

Узагальнення Стоуна

Шаблон:Якір1935 року Стоун довів, що будь-яку функцію з кільця $C(K)$ неперервних на гаусдорфовому компакті $K$ дійснозначних функцій можна рівномірно наблизити функціями спеціального класу — які складають алгебру Стоуна, тобто будь-яка алгебра Стоуна $C_0$ є всюди щільною в просторі неперервних функцій на компакті: $\overline{C_0}=C(K)$. Як норма рівномірної збіжності на $C(K)$ береться $\Vert f\Vert =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in K}|f(x)|$, а алгебра Стоуна визначається як підалгебра $C_0\subseteq C(K)$, елементи якої розділяють точки $K$.

Шаблон:ЯкірТочніше, алгебра Стоуна $C_0$ — це множина функцій із кільця $C(K)$, що задовольняє таким умовам:

1. разом з будь-якими її елементами $f,g\in C_0$ в алгебру Стоуна входять елементи: $cf$ ($c\in ℝ$), $f+g$, $fg$;
2. алгебра Стоуна містить сталу функцію $1$;
3. для кожної пари різних точок $x_1,x_2\in K$ знайдеться хоча б одна функція $f\in C_0,$ така, що $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Подальші узагальнення

Існує серія узагальнень теореми Веєрштрасса — Стоуна в різних напрямках. Наприклад, за теоремою Мергеляна будь-яку функцію, неперервну на будь-якому компакті зі зв'язним доповненням на комплексній площині і голоморфну в його внутрішніх точках можна рівномірно наблизити комплексними многочленами. Також знайдено узагальнення, що дозволяють замість гаусдорфового компакта розглядати функції, неперервні на довільному тихоновському просторі.

Див. також

• Поліноми Бернштейна

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Із