Поліноми Бернштейна

Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна — Веєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.

Визначення

(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:

$b_{k,n}(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k},k=0,\dots ,n.$

де $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ — біноміальний коефіцієнт.

Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору ${\mathrm{\Pi }}_n$ поліномів степеня n.

Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна

$B_n(f;x)=B_n(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)b_{k,n}(x)$

називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти $f\left(\frac{k}{n}\right)$ називаються коефіцієнтами Бернштейна.

Приклади

базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:

$b_{0,0}(x)=1$

$b_{0,1}(x)=1-x$

$b_{1,1}(x)=x$

$b_{0,2}(x)=(1-x{)}^2$

$b_{1,2}(x)=2x(1-x)$

$b_{2,2}(x)=x^2.$

Властивості

• Розбиття одиниці:

$\sum _{i=0}^k{B}_{i,n}(x)=1$,

• Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:

$B_{k,n}(x)\ge 0,\in [0,1]$,

• Рекурентні відношення:

$B_{k,n}(x)=(1-x)B_{k,n-1}(x)+x{B}_{k-1,n-1}(x)$.

• Симетрія:

$B_{k,n}(x)=B_{n-k,n}(1-x)$

• Добуток поліномів:

$B_{k,n}(x)B_{j,m}(x)$ $=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k+j})}{B}_{k+j,n+m}(x)$

• Похідна:

$\frac{d}{dt}{B}_{k,n}(x)=n(B_{k-1,n-1}(x)-B_{k,n-1}(x))$ де приймається $B_i^n(x)=0$ для $i<0$ чи $i>n$

• Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:

$B_{k,n}(x)=\frac{n+1-k}{n+1}{B}_{k,n+1}(x)+\frac{k+1}{n+1}{B}_{k+1,n+1}(x)$

• Локальний максимум:

$B_{k,n}(x)$ має локальний максимум на проміжку $[0,1]$ у точці $x=\frac{i}{n}$. Дане значення рівне:

${\nu }^{\nu }{n}^{-n}(n-\nu {)}^{n-\nu }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\nu }).$

Вираження $x^k$ через поліноми Бернштейна

Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:

$x^k=\sum _{i=k}^n\frac{i(i-1)\dots (i-k+1)}{n(n-1)\dots (n-k+1)}{B}_i^n(x),n\ge 3$

Апроксимація неперервних функцій

Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:

$B_n(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left(\frac{\nu }{n}\right)b_{\nu ,n}(x).$

Тоді:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n(f)(x)=f(x)$

рівномірно на проміжку [0, 1].

Див. також

• Крива Без'є

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко