Поверхня Боя

Анімація поверхні Боя

У геометрії поверхня Боя — приклад занурення дійсної проєктивної площини в 3-вимірному просторі. На відміну від римської поверхні та плівки Мебіуса, вона не має інших особливих точок, крім самоперетину.

Історія

Знайдена Вернером Боєм у 1901 році, який відкрив її за завданням Давида Гільберта, щоб довести, що проєктивну площину не можна занурити в 3-просторі.

Поверхня Боя вперше явно параметризував Бернар Морен у 1978 році. Іншу параметризацію виявили Роб Куснер і Роберт Браянт. Поверхня Боя є одним із двох можливих занурень дійсної проєктивної площини, які мають лише одну потрійну точку.

Модель поверхні Боя в Обервольфасі

Властивості

Поверхня Боя має 3-кратну симетрію. Це означає, що у неї є вісь дискретної симетрії обертання: будь-який поворот на 120° навколо цієї осі залишає поверхню виглядати точно так само. Поверхня Боя може бути розрізана на три взаємно конгруентні частини.

Застосування

Побудова поверхні Боя з паперу

Поверхня Боя може бути використана як проміжна модель у мінімаксному вивертанні сфери. Проміжна модель — це занурення сфери із такою властивістю, що обертання міняється всередині і зовні, і тому вона може бути використана для того, щоб вивернути сферу (навиворіт). Поверхні Боя (с = 3) і Морена (с = 2) починають послідовність проміжних моделей із вищою симетрією, вперше запропонованих Джорджем Френсісом, індексованих парними цілими числами 2p (для p неарного, ці занурення можна розкласти на множники через проєктивну площину). Все це передає параметризація Куснера.

Параметризація поверхні Боя

Вигляд описаної тут параметризації

Поверхня Боя може бути параметризована кількома способами. Одна з параметризацій, яку відкрили Роб Куснер і Роберт Браянт, така: дано комплексне число w, величина якого менша або дорівнює одиниці ($\Vert w\Vert \le 1$), нехай

$\begin{array}{cc}{g}_1& =-\frac{3}{2}\mathrm{Im}\left[\frac{w(1-w^4)}{w^6+\sqrt{5}{w}^3-1}\right]\\ g_2& =-\frac{3}{2}\mathrm{Re}\left[\frac{w(1+w^4)}{w^6+\sqrt{5}{w}^3-1}\right]\\ g_3& =\mathrm{Im}\left[\frac{1+w^6}{w^6+\sqrt{5}{w}^3-1}\right]-\frac{1}{2}\\ \end{array}$

таким чином

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{1}{g_1^2+g_2^2+g_3^2}\left(\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\\ g_3\end{array}\right)$

де x, y і z — шукані декартові координати точки на поверхні Боя.

Якщо виконати інверсію цієї параметризації з центром у потрійній точці, то отримаємо повну мінімальну поверхню з трьома кінцями (саме так ця параметризація була відкрита природним чином). Це означає, що параметризація Браянта-Куснера поверхонь Боя є «оптимальною» в тому сенсі, що це «найменш вигнуте» занурення проєктивної площини в тривимірний простір.

Зациклений анімований розріз поверхні Боя.

Властивість параметризації Браянта–Куснера

Якщо w замінити на від'ємне значення, зворотне його комплексно спряженому, $-\frac{1}{w^{\star }},$ тоді функції g₁, g₂ і g₃ від w залишаються незмінними.

Замінивши Шаблон:Math в термінах його дійсної та уявної частин Шаблон:Math, і розширивши результуючу параметризацію, можна отримати параметризацію поверхні Боя в термінах раціональних функцій Шаблон:Math і Шаблон:Math. Це показує, що поверхня Боя є не тільки алгебраїчною, але навіть раціональною поверхнею. Зауваження до попереднього параграфа показує, що спільна точка цієї параметризації складається з двох точок (тобто майже кожна точка поверхні Боя може бути отримана за двома значеннями параметрів).

Зв'язок поверхні Боя з дійсною проєктивною площиною

Нехай $P(w)=(x(w),y(w),z(w))$ — параметризація Браянта–Куснера поверхні Боя. Тоді

$P(w)=P(-\frac{1}{w^{\star }}).$

Це пояснює умову $\Vert w\Vert \le 1$ за параметром: якщо $\Vert w\Vert <1,$ тоді $\Vert -\frac{1}{w^{\star }}\Vert >1.$ Однак тут все трохи складніше $\Vert w\Vert =1.$ У цьому випадку $-\frac{1}{w^{\star }}=-w.$ Це означає, що якщо $\Vert w\Vert =1,$ точка поверхні Боя виходить із двох значень параметрів: $P(w)=P(-w).$ Іншими словами, поверхня Боя була параметризована диском таким чином, що пари діаметрально протилежних точок по периметру диска еквівалентні. Це показує, що поверхня Боя є зображенням дійсної проєктивної площини RP² гладкою функцією. Тобто параметризація поверхні Боя — це занурення дійсної проєктивної площини в евклідовий простір.

Примітки

Джерела

• Шаблон:Citation This describes a piecewise linear model of Boy's surface.
  • Шаблон:Citation Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Шаблон:Citation.
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's, (undated, 2006 or earlier).
• Шаблон:MathWorld