Теорема Гана про розклад

У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості зарядів. Названа на честь австрійського математика Ганса Гана. У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри.

Твердження теореми

Для будь-якого вимірного простору $(X,\mathrm{\Sigma })$ і будь-якого сигма-адитивного заряду $\mu$, визначеного на $\sigma$-алгебрі $\mathrm{\Sigma }$ існують $\mathrm{\Sigma }$-вимірні множини $P$ і $N$ для яких:

1. $P\cup N=X$ і $P\cap N=\varnothing$.
2. Для кожної множини $E\in \mathrm{\Sigma }$ такого, якщо $E\subseteq P$, то $\mu (E)⩾0$, тобто на всіх вимірних підмножинах множини $P$ значення заряду $\mu$ є не меншим 0 (множини $P$ із такою властивістю називаються додатними).
3. Для кожної множини $E\in \mathrm{\Sigma }$ такого, якщо $E\subseteq N$, то $\mu (E)⩽0$, тобто на всіх вимірних підмножинах множини $N$ значення заряду $\mu$ є не більшим 0 (множини $N$ із такою властивістю називаються від'ємними).

Більше того, цей розклад є майже єдиним у сенсі, що для будь-якої іншої пари $(P^{\prime },N^{\prime })$ множин із $\mathrm{\Sigma }$ для яких виконуються ці три умови, симетричні різниці $P\mathrm{△}{P}^{\prime }$ і $N\mathrm{△}{N}^{\prime }$ є мають міру нуль разом із усіма їх підмножинами.

Пара $(P,N)$ називається розкладом Гана заряду $\mu$.

Доведення

Можна вважати, що $\mu$ не приймає значення $-\mathrm{\infty }$ (в іншому випадку можна розглядати міру $-\mu$).

Твердження про від'ємні множини

Нехай $D\in \mathrm{\Sigma }$ і $\mu (D)⩽0$. Тоді існує від'ємна множина $A\subseteq D$ ( тобто множина $A\in \mathrm{\Sigma }$, така що для кожної $\mathrm{\Sigma }$-вимірної підмножини $B\subseteq A$, також $\mu (B)⩽0$) для якої $\mu (A)⩽\mu (D)$.

Доведення

Нехай $A_0:=D$ і за припущенням індукції для $n\in {\mathbb{N}}_0$ побудована множина $A_n\subseteq D$. Нехай $t_n$ позначає супремум $\mu (B)$ для усіх $\mathrm{\Sigma }$-вимірних підмножин $B$ множини $A_n$. Цей супремум може бути нескінченним. Оскільки порожня множина $\varnothing$ є підмножиною $A_n$, то $t_n⩾0$. Згідно означення $t_n$, існує $\mathrm{\Sigma }$-вимірна підмножина $B_n\subseteq A_n$, для якої

$\mu (B_n)⩾\min (1,\frac{t_n}{2}).$

Тоді крок індукції завершується якщо прийняти $A_{n+1}:=A_n\setminus B_n$. Остаточно нехай:

$A:=D\backslash \bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n.$

Оскільки множини $(B_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ попарно не перетинаються, то із сигма адитивності заряду $\mu$ випливає, що

$\mu (A)=\mu (D)-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (B_n)⩽\mu (D)-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\min (1,\frac{t_n}{2}).$

Зокрема звідси випливає, що $\mu (A)⩽\mu (D)$. Якщо $A$ не є від’ємною множиною то існує $\mathrm{\Sigma }$-вимірна підмножина $B\subseteq A$, яка задовольняє $\mu (B)>0$. Оскільки за побудовою також $B\subseteq A_n$ для кожного $n\in {\mathbb{N}}_0$ то і $t_n⩾\mu (B)$ , тож сума ряду праворуч є рівною $+\mathrm{\infty }$ і тому також $\mu (A)=-\mathrm{\infty }$, що суперечить припущенню. Отже такої множини $B$ не існує і $A$ є від’ємною множиною.

Побудова розкладу Гана

Нехай $N_0=\varnothing$ і, за індукцією, при вже наявному $N_n$ нехай $s_n$ позначає інфімум $\mu (D)$ для усіх $\mathrm{\Sigma }$-вимірних підмножин $D$ множини $X\setminus N_n$. Цей інфімум може бути рівним $-\mathrm{\infty }$. Оскільки порожня множина $\varnothing$ є підмножиною $X\setminus N_n$ то $s_n⩽0$. Отже, існує $\mathrm{\Sigma }$-вимірна підмножина $D_n\subseteq X\setminus N_n$ для якої

$\mu (D_n)⩽\max (\frac{s_n}{2},-1)⩽0.$

Згідно з наведеним вище твердженням існує від'ємна множина $A_n\subseteq D_n$ така, що $\mu (A_n)⩽\mu (D_n)$. Тоді для завершення кроку індукції можна позначити $N_{n+1}:=N_n\cup A_n$.

Остаточно також

$N:=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n.$

Оскільки множини $(A_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ попарно не перетинаються, для кожної $\mathrm{\Sigma }$-вимірної підмножини $B\subseteq N$:

$\mu (B)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (B\cap A_n)$

згідно сигма-адитивності заряду $\mu$. Зокрема $N$ є від’ємною множиною. Якщо позначити $P:=X\setminus N$ то $P$ є додатною множиною. Якби це було не так, то існувала б $\mathrm{\Sigma }$-вимірна підмножина $D\subseteq P$ для якої $\mu (D)<0$. Але тоді $s_n⩽\mu (D)$ для всіх $n\in {\mathbb{N}}_0$ і

$\mu (N)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)⩽\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\max (\frac{s_n}{2},-1)=-\mathrm{\infty },$

що суперечить припущенню про $\mu$. Отже, $P$ є додатною множиною.

Властивість майже єдиності

Якщо $(N^{\prime },P^{\prime })$ є ще одним розкладом Гана для $X$, то $P\cap N^{\prime }$ є водночас додатною і від'ємною множиною. Отже, кожна його вимірна підмножина має міру нуль. Те ж саме стосується і $N\cap P^{\prime }$. Рівності:

$P\mathrm{△}{P}^{\prime }=N\mathrm{△}{N}^{\prime }=(P\cap N^{\prime })\cup (N\cap P^{\prime }),$

і адитивність заряду завершують доведення теореми.

Розклад Жордана заряду

Наслідком теореми Гана про розклад є Теорема Жордана про розклад, яка стверджує, що для кожного сигма-адитивного заряду $\mu$ заданого на $\mathrm{\Sigma }$ існує розклад $\mu ={\mu }^{+}-{\mu }^{-}$ на різницю двох мір ${\mu }^{+}$ і ${\mu }^{-}$, принаймні одна із яких є скінченною.

Теорема Жордана відразу випливає із теореми Гана, якщо для довільної $\mathrm{\Sigma }$-вимірної множини $E$ відповідні міри визначити як:

${\mu }^{+}(E):=\mu (E\cap P)$

${\mu }^{-}(E):=-\mu (E\cap N)$

для будь-якого розкладу Гана $(P,N)$ заряду $\mu$.

Для побудованих так мір також для будь якого розкладу Гана $(P,N)$ також ${\mu }^{+}(E)=0$ для $\mathrm{\Sigma }$-вимірних підмножин $E\subseteq N$ і ${\mu }^{-}(E)=0$ для $\mathrm{\Sigma }$-вимірних підмножин $E\subseteq P$.

Міри ${\mu }^{+}$ і ${\mu }^{-}$ визначені за допомогою розкладу Гана називаються додатною і від'ємною складовою заряду $\mu$ відповідно. Пара $({\mu }^{+},{\mu }^{-})$ називається розкладом Жордана (або розкладом Гана — Жордана) заряду $\mu$. Розклад Жордана є єдиним, його означення не залежить від вибору розкладу Гана.

Еквівалентно означення мір із розкладу Жордана $({\mu }^{+},{\mu }^{-})$ для заряду $\mu$ можна одержати із рівностей

${\mu }^{+}(E)=\underset{B\in \mathrm{\Sigma },B\subseteq E}{\sup }\mu (B)$

${\mu }^{-}(E)=-\underset{B\in \mathrm{\Sigma },B\subseteq E}{\inf }\mu (B).$

для будь-якого $E$ у $\mathrm{\Sigma }$.

Розклад Жордана є мінімальним із усіх розкладів заряду як різниці мір: якщо також $\mu ={\nu }^{+}-{\nu }^{-}$ для пари $({\nu }^{+},{\nu }^{-})$ невід’ємних мір на $X$, то

${\nu }^{+}⩾{\mu }^{+},{\nu }^{-}⩾{\mu }^{-}.$

Міри $({\mu }^{+},{\mu }^{-})$ із розкладу Жордана є сингулярними. Міра $|\mu |={\mu }^{+}+{\mu }^{-}$ називається повною варіацією заряду $\mu .$

Див. також

• Заряд (теорія міри)

Посилання

• Hahn decomposition theorem на сайті PlanetMath.
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite arXiv