Симетрична різниця

Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B не членами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.

В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.

Визначення

Симетричну різницю можна визначити двома способами:

• симетрична різниця двох заданих множин А та В — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину:

$(A\mathrm{△}B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

• симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин.

$(A\mathrm{△}B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Властивості

• Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані;
• Симетрична різниця є комутативною: $A△B=B\mathrm{△}A;$
• Симетрична різниця є асоціативною: $(A△B)\mathrm{△}C=A△\left(B\mathrm{△}C\right);$
• Перетин множин  є дистрибутивним відносно симетричної різниці: $A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C);$
• Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:  $A△\varnothing =A;$
• Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці: $A△A=\varnothing ;$
• Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою;
• $(A_1\cap A_2)△(B_1\cap B_2)\subset (A_1△B_1)\cup (A_2△B_2);$
• $(A_1\cup A_2)△(B_1\cup B_2)\subset (A_1△B_1)\cup (A_2△B_2);$
• $(A_1\setminus A_2)△(B_1\setminus B_2)\subset (A_1△B_1)\cup (A_2△B_2);$
• Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин $(A△B)\cup (A\cap B)=A\cup B$;
• Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

• Зв'язок з операцією перетину множин такий:

$(A\mathrm{△}B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Приклади

Діаграма Венна для симетричної різниці AΔB

1. Нехай

$A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7\}.$

Тоді

$A\mathrm{△}B=\{1,2,6,7\}.$

2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.

Див. також

• Множина
• Базис циклів

Література

• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств