Заряд (теорія міри)

Зарядом (або знакозмінною мірою) у математиці, зокрема теорії міри називається узагальнення поняття міри множини, що може набувати будь-яких дійсних значень, а не лише невід'ємних чисел.

Означення

Загалом у літературі існують різні означення терміна заряд. Одним із поширених і досить загальних є таке:

зарядом називається скінченно адитивна функція множин, визначена на деякій алгебрі множин із значеннями на розширеній дійсній прямій $ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}.$ Іншими словами для множини $X$ і заданої на ній алгебри підмножин $𝒜$ функція $\mu :𝒜\to ℝ\cup \{\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$ називається зарядок якщо:

• $\mu (\varnothing )=0,$
• Якщо $A,B\in 𝒜$ і $A\cap B=\varnothing$, то $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$

Оскільки вирази на зразок $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ є невизначеними то заряд для якого $\mu (A)=+\mathrm{\infty },$ а $\mu (X\setminus A)=-\mathrm{\infty }$ є неприпустимим. Звідси якщо $\mu (A)=+\mathrm{\infty }$ то і $\mu (X)=+\mathrm{\infty }$. Аналогічно якщо $\mu (B)=-\mathrm{\infty },$ то і $\mu (X)=-\mathrm{\infty }$. Відповідно заряд може набувати щонайбільше одного із значень $\{\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}.$ Оскільки для заряду $\mu$ функція $-\mu$ теж є зарядом основні властивості якого є аналогічним до $\mu$ то у визначенні заряду іноді конкретизують, що він може приймати лише значення $+\mathrm{\infty },$ тобто областю значень є множина $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }].$

Дійсним зарядом називається заряд значеннями якого є лише дійсні числа (тобто заряд жодної множини не є безмежним). Іноді термін заряд використовується лише для дійсних зарядів. Також важливим є поняття обмеженого заряду, тобто заряду для якого $\underset{A\in 𝒜}{\sup }|\mu (A)|<\mathrm{\infty }.$ Додатним зарядом називається заряд для якого $\mu (A)⩾0$ для всіх $A\in 𝒜<\mathrm{\infty }.$

Дуже часто в означенні заряду вимагається властивість σ-адитивності.

Σ-адитивним зарядом називається заряд (у найзагальнішому означенні) для якого додатково виконується умова:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$

для будь-якої послідовності множин $A_1$, $A_2,\dots ,A_n,\dots$ для якої ${\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$ і $A_i\cap A_j=\varnothing$ для $i\ne j$. Найчастіше у цьому випадку заряд розглядається на σ-алгебрі.

Приклади

• Нехай ${\mu }_1$ і ${\mu }_2$ є стандартними мірами на $(X,𝒜)$ і хоча б одна із цих мір є скінченною. Тоді $\mu ={\mu }_1-{\mu }_2$ є σ-адитивним зарядом на $(X,𝒜)$. Якщо обидві міри є скінченними, то заряд є обмеженим. Якщо для ${\mu }_1$ і ${\mu }_2$ вимагати лише скінченну адитивність, то $\mu$ буде (скінченно адитивним) зарядом.
• Нехай $X=\mathbb{N}$ — множина натуральних чисел і $𝒜$ є алгеброю елементами якої є множини, які або самі є скінченними або мають скінченні доповнення. Тоді функція задана як $\mu (A)=$ кількості елементів A, якщо A є скінченною і -(кількості елементів $X\setminus A$), якщо $X\setminus A$ є скінченною (зокрема $\mu (X)=0$) є дійсним необмеженим зарядом.
• Нехай $X=[0,1)$ і $𝒜$ є алгеброю породженою напівалгеброю інтервалів виду $[a,b)$ для $0⩽a⩽b⩽1.$ Елементами $𝒜$ є скінченні диз'юнктні об'єднання інтервалів вказаного виду. Нехай $f:X\to ℝ$ — довільна дійснозначна функція. Тоді якщо визначити ${\mu }_f([a,b))=f(b)-f(b)$ і для всіх множин алгебри $𝒜$ продовжити за адитивністю, то ${\mu }_f$ є зарядом.

Вибираючи конкретні $f$ можна одержати багато цікавих прикладів і контрприкладів зарядів. Нехай, наприклад, $f(x)=0$ якщо $x$ є ірраціональним числом або $x=0$ і $f\left(\frac{m}{n}\right)=n$ для раціональних чисел записаних через нескоротний дріб як $\frac{m}{n}.$ Тоді відповідний заряд ${\mu }_f$ є дійсним але не обмеженим ні зверху ні знизу. Навіть більше для кожної множини $A\in 𝒜$ існують підмножини із зарядами більшими за будь-яке додатне число і підмножини із зарядами меншими за будь-яке від'ємне число.

Також ${\mu }_f$ у цьому випадку є скінченно адитивном (за побудовою) але не σ-адитивним. Дійсно ${\mu }_f([0,1))=f(1)-f(0)=1-0=1$ і якщо $x_i,i⩾0$ є строго зростаючою послідовністю додатних ірраціональних чисел для яких $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_i=1$ і $x_0=0$ то $[0,1)={\bigcup }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}[x_i,x_{i+1})$ але

${\mu }_f([,1))=1\ne 0=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_f([x_i,x_{i+1})).$

• Нехай (X, Σ) є вимірним простором, $\nu$ — міра на ньому і f: X → R — вимірна функція для якої

$\underset{X}{\int }|f(x)|d\nu (x)<\mathrm{\infty }.$

Тоді на (X, Σ) можна ввести σ-адитивний заряд для якого

$\mu (A)=\underset{A}{\int }f(x)d\nu (x)$

для всіх A із Σ. Цей заряд є прикладом дійсного σ-адитивного заряду.

• Подібний приклад σ-адитивного заряду, що набуває значень +∞ можна одержати якщо послабити вимоги до функції f і замість абсолютної інтегровності вимагати виконання умови:

$\underset{X}{\int }{f}^{-}(x)d\nu (x)<\mathrm{\infty },$

де f⁻(x) = max(−f(x), 0).

Властивості

Загальні вдастивості

Всюди нижче множини $A,B$ належать деякій алгебрі $𝒜$ підмножин множини X і $\mu$ є зарядом на $𝒜$.

• Для довільної скінченної кількості множин $A_i\in 𝒜,i=1,\dots ,n$ для яких $A_i\cap A_j=\varnothing$ для $i\ne j$ виконується рівність (скінченна адитивність):

$\mu \left({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^n\mu (A_i).$

• Якщо $A\subset B$ і $-\mathrm{\infty }<\mu (A)<\mathrm{\infty }$ тоді $\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).$
• Якщо $A\subset B$, то з того, що $\mu (B)<\mathrm{\infty }$ випливає, що і $\mu (A)<\mathrm{\infty }$; аналогічно, якщо $\mu (B)>-\mathrm{\infty }$ то і $\mu (A)>-\mathrm{\infty }.$
• $\mu (A)+\mu (B)=\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B).$ Більш загально для скінченної кількості множин $A_i\in 𝒜,i=1,\dots ,n$ :

${\sum }_{i=1}^n\mu (A_i)=\mu \left({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right)+\mu (\bigcup _{i\ne j}{A}_i\cap A_j)+\mu (\bigcup _{i<j<k}{A}_i\cap A_j\cap A_k)+\dots +\mu \left({\bigcap }_{i=1}^n{A}_i\right).$

• Заряд $\mu$ є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли для нього виконується умова неперервності знизу: для довільної неспадної послідовності $A_i\in 𝒜,i⩾1$(тобто $A_i\subseteq A_j$ при $i<j$) для якої $A={\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$ виконується рівність: $\mu (A)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_n).$
• Якщо $\mu$ є дійсним зарядом, то він є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли виконується якась із двох еквівалентних умов:
  1. Для довільної незростаючої послідовності $A_i\in 𝒜,i⩾1$(тобто $A_i\supseteq A_j$ при $i<j$) для якої $A={\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$ виконується рівність: $\mu (A)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_n).$
  2. Для довільної незростаючої послідовності $A_i\in 𝒜,i⩾1$ для якої ${\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=\varnothing$ виконується рівність $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_n)=0.$

• Якщо $\mu$ і $\nu$ є зарядами, а $a,b$ — дійсними числами, то $a\cdot \mu +b\cdot \nu$ теж є зарядом. Тому на просторі всіх зарядів на $(X,𝒜)$ можна ввести структуру дійсного векторного простору. Дійсні, обмежені, обмежені зверху чи знизу, σ-адитивні заряди утворюють векторні підпростори цього простору але множина додатних зарядів і множина мір не є векторними підпросторами. На множині зарядів на $(X,𝒜)$ також можна ввести відношення часткового порядку вважаючи, що $\mu ⩽\nu$ якщо $\mu (A)⩽\nu (A)$ для всіх $A\in 𝒜$. Це відношення узгоджується із векторною структурою простору: якщо $\mu ⩽\nu$ то $\mu +\rho ⩽\nu +\rho$ і $a\cdot \mu ⩽a\cdot \nu$ для будь-якого заряду $\rho$ і додатного числа a. Іншими словами заряди на $(X,𝒜)$ утворюють впорядкований векторний простір. Це ж твердження є істинним і для його підпросторів.

Властивості обмежених зарядів

Нехай $\mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜)$ позначає множину обмежених зарядів на $(X,𝒜)$ і $\mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ — множину σ-адитивних обмежених зарядів на $(X,𝒜)$. Також для $\mu ,\nu \in \mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜)$ всюди нижче використовуються позначення

$(\mu \wedge \nu )(A)=\underset{B\subset A}{\inf }(\mu (B)+\nu (A\setminus B))$

$(\mu \vee \nu )(A)=\underset{B\subset A}{\sup }(\mu (B)+\nu (A\setminus B))$

${\mu }^{+}=\mu \vee 0,{\mu }^{-}=-\mu \vee 0,|\mu |={\mu }^{+}+{\mu }^{-}.$

${\mu }^{+},{\mu }^{-},|\mu |$ називаються відповідно додатною, від'ємною і повною варіаціями заряду $\mu .$

• ${\mu }^{+},{\mu }^{-},|\mu |$ є додатними обмеженими зарядами для яких ${\mu }^{+}\wedge {\mu }^{-}=0$ і $\mu ={\mu }^{+}-{\mu }^{-}$ (розклад Жордана).
• Еквівалентно для додатної і від'ємної варіацій:

  ${\mu }^{+}(A)=\underset{B\subset A}{\sup }(\mu (B))$

  ${\mu }^{-}(A)=-\underset{B\subset A}{\inf }(\mu (B)).$

• Для повної варіації:

  $|\mu |(A)=\underset{B\subset A}{\sup }(\mu (B)-\mu (A\setminus B))=\sup (\sum _{i=1}^n|\mu (A_i)|)$ де у останній рівності супремум береться по всіх розбиттях множини $A$ як диз'юнктного об'єднання скінченної кількості множин $A_i\in 𝒜.$

• Функції $\mu \wedge \nu$ і $\mu \vee \nu$ є обмеженими зарядами і є відповідно інфімумом і супремумом для множини $\{\mu ,\nu \}$ у введеному вище відношенні часткового порядку. Таким чином $\mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜)$ із введеними вище структурою векторного простору і відношенням часткового порядку є векторною ґраткою (простором Ріса). Ця ґратка є обмежено повною, тобто кожна обмежена зверху множина зарядів має супремум, а обмежена знизу — інфімум.
• На просторі $\mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜)$ можна ввести норму: $\Vert \mu \Vert =|\mu |(X).$ Із цією нормою $\mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜)$ є повним нормованим простором.
• Якщо $\mu ,\nu \in \mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ то також усі заряди ${\mu }^{+},{\mu }^{-},|\mu |$ і $\mu \wedge \nu$ з $\mu \vee \nu$ теж належать $\mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜).$ Таким чином $\mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ є векторною підґраткою $\mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜).$ Більше того ця підґратка є нормальною тобто, якщо деяка множина зарядів із $\mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ має супремум у $\mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜),$ то він також є елементом $\mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ і якщо для $\mu ,\nu \in \mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜)$виконується нерівність $|\mu |⩽|\nu |$ і також $\nu \in \mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ то і $\mu \in \mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜).$ Окрім того $\mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ є замкнутим підпростором $\mathrm{b}\mathrm{a}(X,𝒜)$ згідно відповідної норми. Відповідно $\mathrm{c}\mathrm{a}(X,𝒜)$ теж є обмежено повною ґраткою і повним нормованим простором.

Теореми про розклад

Для довільних зарядів $\mu ,\nu$ які або одночасно не приймають значення $\mathrm{\infty }$ або одночасно не приймають значення $-\mathrm{\infty }$ можна аналогічно ввести $\mu \wedge \nu$ і $\mu \vee \nu$. Також для довільного заряду $\mu$ можна позначити ${\mu }^{+}$ і ${\mu }^{-}$ заряди одержані за означенням як ${\mu }^{+}(A)=\underset{B\subset A}{\sup }(\mu (B))$ і ${\mu }^{-}(A)=-\underset{B\subset A}{\inf }(\mu (B)).$ Тоді ${\mu }^{+}$ і ${\mu }^{-}$ є додатними зарядами.

Теорема про розклад Жордана у загальному випадку стверджує, що якщо $\mu$ не приймає значення $\mathrm{\infty }$ то ${\mu }^{+}-\mu ={\mu }^{-},$ якщо $\mu$ не приймає значення $-\mathrm{\infty }$ то ${\mu }^{-}+\mu ={\mu }^{+}$ і $\mu ={\mu }^{-}+{\mu }^{+}$ якщо і тільки якщо $\mu$ є обмеженим знизу або обмеженим зверху. Зокрема розклад Жордана $\mu ={\mu }^{+}-{\mu }^{-}$ існує для довільних обмежених зарядів і σ-адитивних зарядів на σ-алгебрі. В останньому випадку ${\mu }^{+}$ і ${\mu }^{-}$ будуть мірами.

Також розклад Жордана існує тоді і лише тоді, коли ${\mu }^{+}\wedge {\mu }^{-}=0$ і якщо $\mu ={\mu }_1-{\mu }_2$ і ${\mu }_1\wedge {\mu }_2=0$ для додатних зарядів ${\mu }_1,{\mu }_2$ то ${\mu }_1={\mu }^{+},{\mu }_2={\mu }^{-}.$

Теорема Гана про розклад стверджує, що якщо $\mu$ є обмеженим знизу або обмеженим зверху то для довільного додатного числа $\epsilon >0$ існує така множина $A\in 𝒜,$ що для довільних $B,C\in 𝒜,$ якщо $B\subset A$ то $\mu (B)<\epsilon$ і якщо $C\subset X\setminus A$ то $\mu (C)>-\epsilon .$

Якщо додатково $\mu$ є σ-адитивним зарядом на σ-алгебрі то існує така множина $A\in 𝒜,$ що для довільних $B,C\in 𝒜,$ якщо $B\subset A$ то $\mu (B)⩽0$ і якщо $C\subset X\setminus A$ то $\mu (C)⩾0.$ До того ж у цьому випадку якщо $A,A^{\prime }\in 𝒜$ є двома такими множинами то для симетричних різниць $A\mathrm{△}{A}^{\prime }=0$ і $(X\setminus A)\mathrm{△}(X\setminus A^{\prime })=0.$ Розклад Жордана у цьому випадку можна також отримати як ${\mu }^{-}(B)=\mu (B\cap A)$ і ${\mu }^{+}(B)=\mu (B\setminus A).$

Заряд $\nu$ на $(X,𝒜)$ називається абсолютно неперервним щодо заряду $\mu$ на $(X,𝒜)$, якщо для кожного $\epsilon >0$ існує $\delta >0$, таке, що для кожної множини $A\in 𝒜$, якщо $|\mu |(A)<\delta$ то $|\nu (A)|<\epsilon .$ Із цієї властивості випливає властивість слабкої абсолютної неперервності: $\nu$ називається слабко абсолютно неперервним щодо $\mu$заряду $\mu$, якщо для кожної множини $A\in 𝒜$, із того, що $|\mu |(A)=0$ випливає, що $\nu (A)=0.$ У випадку якщо $\mu$ є додатним зарядом, то ці два поняття є еквівалентними. Нехай $\mu ,\nu \in \mathrm{b}\mathrm{a}(X,\mathrm{\Sigma })$. Тоді заряд $\nu$ єдиним чином можна подати у вигляді суми $\nu ={\nu }_1+{\nu }_2$, де ${\nu }_1$ є абсолютно неперервним щодо $\mu$ і ${\nu }_2$ є сингулярною із $\mu$. Такий розклад міри $\nu$ прийнято назвати розкладом Лебега.

Додатний заряд $\nu \in \mathrm{b}\mathrm{a}(X,\mathrm{\Sigma })$ називається чисто скінченно адитивним, якщо для будь-якої додатної зліченно-адитивної міри $\mu$ з $0⩽\mu ⩽\nu$ випливає, що $\mu =0$. Довільний заряд називається чисто скінченно адитивним, якщо такими є заряди ${\nu }^{+}$ і ${\nu }^{-}$.

Будь-який заряд $\nu \in \mathrm{b}\mathrm{a}(X,\mathrm{\Sigma })$ єдиним чином записується у вигляді суми $\nu ={\nu }_{ca}+{\nu }_{pfa}$, де ${\nu }_{ca}$ — зліченно-адитивний заряд, а ${\nu }_{pfa}$ — чисто скінченно адитивний заряд. Такий розклад також називається розкладом Йосиди — Г'юїта.

Див. також

• Векторна міра
• Комплексна міра
• Міра множини
• Сигма-алгебра
• Теорема Гана про розклад

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation