Обернений гамма розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей У теорії ймовірностей і статистиці обернений гамма-розподіл — це двопараметрічна сім’я неперервних розподілів ймовірностей на додатній дійсній півосі, що є розподілом оберненої до змінної, що має гамма-розподіл. Мабуть, найбільше обернений гамма-розподіл використовується в баєсівській статистиці, де такий розподіл виникає як граничний апостеріорний розподіл для невідомої дисперсії нормального розподілу, якщо використовується неінформативний апріор, і як аналітично виражений спряжений апріор у випадку інформативного апріорного розподілу.

Однак серед баєсівців прийнято розглядати альтернативну параметризацію нормального розподілу з точки зору точності, що визначається як зворотна величина дисперсії, що дозволяє використовувати гамма-розподіл безпосередньо як спряжений апріор. Інші баєсівці вважають за краще параметрізувати зворотний гамма-розподіл інакше, як масштабований обернений розподіл хі-квадрат.

Характеристика

Функція щільності

Функція щільності ймовірності оберненого гамма-розподілу визначається на носії $x>0$

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(1/x{)}^{\alpha +1}\exp (-\beta /x)$

з параметром форми $\alpha$ і параметром масштабу $\beta$. Тут $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ позначає гамма-функцію.

На відміну від гамма-розподілу, який містить дещо подібний експоненціальний член, $\beta$ є параметром масштабу, оскільки функція розподілу задовольняє умову:

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }$

Функція розподілу

Функція розподілу є регуляризованою гамма-функцією

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\frac{\beta }{x})}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}=Q(\alpha ,\frac{\beta }{x})$

де чисельник — це верхня неповна гамма-функція, а знаменник — гамма-функція. Багато математичних пакетів дозволяють безпосередньо обчислити $Q$, регуляризовану гамма-функцію.

Моменти

За умови, що $\alpha >n$, $n$-й момент оберненого гамма-розподілу задається формулою

$\mathrm{E}[X^n]=\frac{{\beta }^n}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}.$

Характеристична функція

$K_{\alpha }(\cdot )$ у виразі характеристичної функції є модифікованою функціє. Бесселя 2-го роду.

Властивості

Для $\alpha >0$ і $\beta >0$,

$𝔼[\ln (X)]=\ln (\beta )-\psi (\alpha )$

і

$𝔼[X^{-1}]=\frac{\alpha }{\beta },$

Інформаційна ентропія обислюється наступним чином

$\begin{array}{cc}\mathrm{H}(X)& =\mathrm{E}[-\ln (p(X))]\\ & =\mathrm{E}[-\alpha \ln (\beta )+\ln (\mathrm{\Gamma }(\alpha ))+(\alpha +1)\ln (X)+\frac{\beta }{X}]\\ & =-\alpha \ln (\beta )+\ln (\mathrm{\Gamma }(\alpha ))+(\alpha +1)\ln (\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\ & =\alpha +\ln (\beta \mathrm{\Gamma }(\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{array}$

де $\psi (\alpha )$ — дигамма функція.

Розбіжність Кульбака-Лейблера оберненої-гамми ( α _p, β _p ) від оберненої-гамми ( α _q, β _q ) така сама, як і KL-розбіжність гамма ( α _p, β _p ) від гамма ( α _q, β _q ):

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}({\alpha }_p,{\beta }_p;{\alpha }_q,{\beta }_q)=𝔼[\log \frac{\rho (X)}{\pi (X)}]=𝔼[\log \frac{\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}]=𝔼[\log \frac{{\rho }_G(Y)}{{\pi }_G(Y)}],$

де $\rho ,\pi$ є щільностями обернених гамма-розподілів та ${\rho }_G,{\pi }_G$ є щільностями гамма-розподілів, $Y$ має Гамма( α _p, β _p ) розподіл.

$\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{K}\mathrm{L}}({\alpha }_p,{\beta }_p;{\alpha }_q,{\beta }_q)=& ({\alpha }_p-{\alpha }_q)\psi ({\alpha }_p)-\log \mathrm{\Gamma }({\alpha }_p)+\log \mathrm{\Gamma }({\alpha }_q)+{\alpha }_q(\log {\beta }_p-\log {\beta }_q)+{\alpha }_p\frac{{\beta }_q-{\beta }_p}{{\beta }_p}.\end{array}$

Пов'язані розподіли

• Якщо $X\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha ,\beta )$ тоді $kX\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha ,k\beta )$
• Якщо $X\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha ,\frac{1}{2})$ тоді $X\sim \text{Inv-}{\chi }^2(2\alpha )$ (обернений хі-квадрат розподіл)
• Якщо $X\sim \text{Inv-Gamma}(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2})$ тоді $X\sim \text{Scaled Inv-}{\chi }^2(\alpha ,\frac{1}{\alpha })$ (масштабований обернений хі-квадрат <a href="./Обернений розподіл хі-квадрат" rel="mw:WikiLink" data-linkid="164" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Inverse-chi-squared distribution&quot;,&quot;thumbnail&quot;:{&quot;source&quot;:&quot;https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/5/5a/Inverse_chi_squared_density.png/62px-Inverse_chi_squared_density.png&quot;,&quot;width&quot;:62,&quot;height&quot;:80},&quot;description&quot;:&quot;Probability distribution&quot;,&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q3258519&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;mt&quot;}" class="cx-link" id="mwhQ" title="Обернений розподіл хі-квадрат">розподіл</a>)
• Якщо $X\sim \text{Inv-Gamma}(\frac{1}{2},\frac{c}{2})$ тоді $X\sim \text{Levy}(0,c)$ (розподіл Леві)
• Якщо $X\sim \text{Inv-Gamma}(1,c)$ тоді $\frac{1}{X}\sim \text{Exp}(c)$ (експоненційний розподіл)
• Якщо $X\sim \text{Gamma}(\alpha ,\beta )$ ( Гамма-розподіл з параметром темпу $\beta$) тоді $\frac{1}{X}\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha ,\beta )$ (Деталі див. виведення в наступному абзаці)
• Зверніть увагу, що якщо $X\sim \text{Gamma}(k,\theta )$ (Гамма-розподіл з параметром масштабу $\theta$) тоді $1/X\sim \text{Inv-Gamma}(k,\theta )$
• Обернений гамма-розподіл є окремим випадком розподілу Пірсона 5го типу
• Багатовимірним узагальненням оберненого гамма-розподілу є обернений розподіл Вішарта.
• Про розподіл суми незалежних обернених гамма-змінних див. Witkovsky (2001)

Виведення з гамма-розподілу

Нехай $X\sim \text{Gamma}(\alpha ,\beta )$, і нагадаємо, що щільність гамма-розподілу

$f_X(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}$, $x>0$ .

Враховуючи, що $\beta$ – параметр темпу змін в гамма-розподілі.

Визначимо перетворення $Y=g(X)=\frac{1}{X}$ . Далі щільність $Y$ записується

$\begin{array}{cc}{f}_Y(y)& =f_X(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)|\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\left(\frac{1}{y}\right)}^{\alpha -1}\exp \left(\frac{-\beta }{y}\right)\frac{1}{y^2}\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\left(\frac{1}{y}\right)}^{\alpha +1}\exp \left(\frac{-\beta }{y}\right)\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\left(y\right)}^{-\alpha -1}\exp \left(\frac{-\beta }{y}\right)\\ \end{array}$

Зауважте, що $\beta$ – параметр масштабу для оберненого гамма-розподілу.

Поява

• Розподіл часу відліку вінерівського процесу

Див. також

• Гамма-розподіл
• Обернений розподіл хі-квадрат
• Нормальний розподіл

Джерела

• Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
• Шаблон:Cite journal