Розподіл Леві

Шаблон:Розподіл ймовірностей В теорії ймовірностей і математичній статистиці, розподіл Леві — неперервний розподіл ймовірностей для невід'ємної випадкової величини, названий на честь французького математика Поля Леві.

Цей розподіл є одним з кількох стійких розподілів, густина імовірності яких може бути записана аналітично. Іншими прикладами є нормальний розподіл і розподіл Коші.

Визначення

Густина імовірності розподілу Леві на множині $x\ge \mu$ визначається

$f(x;\mu ,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu )}}}{(x-\mu {)}^{3/2}}$

де $\mu$ — параметр розміщення, $c$ — коефіцієнт масштабування. Функція розподілу ймовірностей:

$F(x;\mu ,c)=\text{erfc}\left(\sqrt{c/2(x-\mu )}\right)$

де $\text{erfc}(z)$ — доповнююча функція помилок. Параметр $\mu$ зміщує криву вправо на відстань $\mu$, змінюючи носій функції на множину [$\mu$, $\mathrm{\infty }$). Як усі стійкі розподіли, розподіл Леві має стандартну форму f(x;0,1) з властивістю:

$f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy$

де y визначено як

$y=\frac{x-\mu }{c}$

Характеристична функція розподілу Леві визначається формулою:

$\phi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.$

Для $\mu =0$, the nth момент незміщеного розподілу Леві формально визначаються:

$m_n\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-c/2x}{x}^n}{x^{3/2}}dx$

Проте для всіх значень n > 0 інтеграл у формулі розбігається і моменти для розподілу є невизначеними. Твірна функція моментів формально визначається:

$M(t;c)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}dx$

і розбігається для $t>0$ і, відповідно, теж не є визначеною.

Як і всі стійкі розподіли окрім нормального, для розподілу Леві характерний «важкий хвіст». Хвіст функції густини розподілу асимптотично поводиться як степенева функція:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x;\mu ,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{1}{x^{3/2}}.$

Це легко побачити на графіку де функції густини для різних значень c при $\mu =0$ показані в логарифмічному масштабі:

Функції густини розподілу Леві в лог-лог масштабі.

Пов'язані розподіли

• Якщо $X\sim \text{Levy}(\mu ,c)$ тоді $kX+b\sim \text{Levy}(k\mu +b,kc)$
• Якщо $X\sim \text{Levy}(0,c)$ тоді $X\sim \text{Inv-Gamma}(\frac{1}{2},\frac{c}{2})$ (обернений гамма-розподіл)
• Розподіл Леві є частковим випадком розподілу Пірсона типу 5.
• Якщо $Y\sim \text{Normal}(\mu ,{\sigma }^2)$ (нормальний розподіл) тоді ${(Y-\mu )}^{-2}\sim \text{Levy}(0,1/{\sigma }^2)$
• Якщо $X\sim \text{Normal}(\mu ,\frac{1}{\sqrt{\sigma }})$ тоді ${(X-\mu )}^{-2}\sim \text{Levy}(0,\sigma )$
• Якщо $X\sim \text{Levy}(\mu ,c)$ тоді $X\sim \text{Stable}(1/2,1,c,\mu )$ (Стійкий розподіл)
• Якщо $X\sim \text{Levy}(0,c)$ тоді $X\sim \text{Scale-inv-}{\chi }^2(1,c)$ (Масштабований обернений розподіл хі-квадрат)

Див. також

• Політ Леві

Посилання

• Шаблон:Cite web Особливо An introduction to stable distributions, Chapter 1 Шаблон:Webarchive