Чотиривимірні гіперкомплексні числа

Чотиривимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з трьома уявними одиницями.

Тобто числа виду $a+bi+cj+dk,$

де

$a,b,c,d$ — дійсні числа;

$i,j,k$  — уявні одиниці,

$I=bi+cj+dk$  — уявна частина.

Множення

Всі 3*3 взаємних добутків уявних одиниць є деякими чотиривимірними гіперкомплексними числами, наприклад:

$ij=a+bi+cj+dk$

Погрупувавши доданки

$(i-c)(j-b)=(a+cb)+dk$

Після заміни змінних, отримаємо:

$ij=k$

Тому довільне чотиривимірне гіперкомплексне число можна записати рекурсивно:

$(a+bi)+(c+di)j$.

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд $a+0I.$

• $(a_1+I_1)+(a_2+I_2)=(a_1+a_2)+(I_1+I_2)$ — додавання,
• $(a_1+I_1)\cdot (a_2+I_2)=a_1{a}_2+(a_1{I}_2+a_2{I}_1)+I_1{I}_2$ — множення (може бути не комутативним і не асоціативним).

Степенева асоціативність

Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:

$z\cdot z^2=z^2\cdot z$

$z^2=(a+I)(a+I)=(a^2+2aI)+I^2$

достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для $I$.

Другого легко досягти при:

$I^2=(bi+cj+dk{)}^2=b^2{i}^2+c^2{j}^2+d^2{k}^2+bc(ij+ji)+bd(ik+ki)+cd(jk+kj)\in ℝ\mathrm{\forall }a,b,c$

Почергово зануляючи всі числа окрім одного отримаємо:

$ij+ji=ik+ki=jk+kj=0$ — антикомутативність добутків $i,j,k$

$i^2=a_{ii}\in ℝ$

$j^2=a_{jj}\in ℝ$

$k^2=a_{kk}\in ℝ$

Альтернативність

• Використавши ще одну із слабких форм асоціативності — альтернативність, отримаємо:

$ij=k$

$kj=a_{jj}\cdot i$, $ik=a_{ii}\cdot j$,

$a_{ii}\cdot jk=a_{kk}\cdot i$ $a_{jj}\cdot ki=a_{kk}\cdot j$

$a_{kk}\cdot ji=a_{ii}{a}_{jj}\cdot k$.

Розглядаючи тільки варіанти з $i^2=-1$, отримаємо комутативність тільки при $j^2=-k^2$

• Виконавши множення в різному порядку отримаємо асоціативність:

$ijk=jki=kij=a_{kk}$

$kji=ikj=jik=a_{ii}{a}_{jj}$

Не альтернативні

При відсутності альтернативності, не можливо вивести одні добутки із інших, але легко побачити степенево-асоціативну систему:

• $a_{ii}=a_{jj}=a_{kk}=+1$ гіперболічні кватерніони

$ij=k=-ji$

$jk=i=-kj$

$ki=j=-ik$

Таблиці

$i^2$	$j^2$	$k^2$	Назва	$ij=ji$	$ij=-ji$	$z,w\in ℂ,i_2^2=-1,{ϵ}^2=0$	Примітки
-1	-1	-1	кватерніони	Шаблон:N&	Шаблон:Aye	$z+w\cdot i_2$
-1	-1	+1	бікомплексні числа	Шаблон:Aye	Шаблон:N&	$z+w\cdot i_2$	комутативні кватерніони
-1	+1	-1	тессаріни	Шаблон:Aye	Шаблон:N&	$z+w\cdot j$	ізоморфні бікомплексним числам
-1	+1	+1	спліт-кватерніони	Шаблон:N&	Шаблон:Aye	$z+w\cdot j$
-1	0	0	дуальні комплексні числа	Шаблон:N&	Шаблон:Aye	$z+w\cdot ϵ$
+1	+1	+1	гіперболічні кватерніони	Шаблон:N&	Шаблон:Aye

Шаблон:Col-begin |- |

кватерніон / спліт-кватерніон

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	−k	∓1	±i
k	j	∓i	∓1

|

бікомплексні / тессаріни

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	k	∓1	∓i
k	−j	∓i	±1

|

гіперболічний
кватерніон

	i	j	k
i	1	k	−j
j	−k	1	i
k	j	−i	1

|

дуальне
комплексне

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	−k	0	0
k	j	0	0

|}

Ділення

Визначимо операції:

• $\Vert z\Vert \equiv z\overline{z}=\overline{z}z$ — норма числа,
• $\frac{z_1}{z_2}\equiv \frac{z_1\overline{z_2}}{\Vert z_2\Vert }$ — ділення чисел.

При $I^2\in ℝ$ можна визначити:

• $\overline{a+I}\equiv a-I$ — спряжене число,
• $\Vert z\Vert \equiv (a^2-I^2)\in ℝ$.

Діагональний базис

Якщо присутня інволюційна уявна одиниця $j^2=+1,$ то як і в подвійних числах існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

$e_1=\frac{1-j}{2},e_2=\frac{1+j}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{e}_1{e}_1=e_1\\ e_2{e}_2=e_2\\ e_1{e}_2=0\end{array},$

які можна використати як альтернативний базис:

$A+Bj=(A-B)e_1+(A+B)e_2=(a-c+(b-d)i)e_1+(a+c+(b+d)i)e_2=\tilde{A}{e}_1+\tilde{B}{e}_2$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли $\tilde{A}$ чи $\tilde{B}$ рівні нулю.

Див. також

• Двовимірні гіперкомплексні числа

Джерела

• Шаблон:Кантор.Солодовников