Лінійний неперервний оператор

Лінійний неперервний оператор $A:X\to Y$, що діє з лінійного топологічного простору Шаблон:Mvar у лінійний топологічний простір Шаблон:Mvar — це лінійне відображення із Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar, що має властивість неперервності.

Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли Шаблон:Mvar багатовимірний. Якщо Шаблон:Mvar одновимірний, тобто збігається із самим полем ($ℝ$ або $ℂ$), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал. Множину всіх лінійних неперервних операторів із Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar позначають $L(X,Y)$.

В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.

Властивості

• Якщо Шаблон:Mvar скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
• Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому Шаблон:Mvar).
• Шаблон:Anchor Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
• Якщо Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar — банахові простори, і образ оператора $A\in L(X,Y)$ збігається з простором Шаблон:Mvar, то існує обернений оператор $A^{-1}\in L(Y,X)$ (так звана теорема про обернений оператор).
• Множина всіх лінійних неперервних операторів з Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar сама є лінійним топологічним простором. Якщо Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar нормовані, то $L(X,Y)$ також нормована операторною нормою. Якщо Шаблон:Mvar — банахів, то й $L(X,Y)$ є такою, незалежно від повноти Шаблон:Mvar.

Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar. Наприклад, якщо Шаблон:Mvar — скінченновимірний простір, то оператор $A\in L(X,Y)$ буде цілком неперервним оператором, область його значень $R(A)$ буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці.

Неперервність і збіжні послідовності

Лінійний оператор $A:X\to Y$, що діє з лінійного топологічного простору Шаблон:Mvar у лінійний топологічний простір Шаблон:Mvar, неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності $\{x_n\}$ точка Шаблон:Mvar, із $x_n\to x_0$ випливає $A{x}_n\to A{x}_0$.

Нехай ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n=s$ збігається і $A:X\to Y$ — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}A{x}_n=As$.

Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

Якщо Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:

якщо $x_n\to x$ слабке, то $A{x}_n\to Ax$ слабке.

Пов'язані визначення

• Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо $\mathrm{\exists }k>0,\mathrm{\forall }x\in X,\Vert Ax\Vert \ge k\Vert x\Vert$.

Див. також

• Спряжений оператор

Джерела

• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Книга