Многочлен вузла

Багато многочленів вузла обчислюються за допомогою скейн-співвідношень, які дозволяють, змінюючи типу перетину, звести вузол до простішого.

В теорії вузлів многочлен вузла — це інваріант вузла у вигляді многочлена, коефіцієнти якого кодують деякі властивості даного вузла.

Історія

Перший многочлен вузла, многочлен Александера, представив ще 1923 року Джеймс Александер, але інші многочлени вузла знайдено лише майже 60 років по тому.

У 1960-х роках Джон Конвей запропонував скейн-співвідношення для версії многочлена Александера, який зазвичай згадують як многочлен Александера — Конвея. Важливість скейн-співвідношень недооцінювали до 1980-х років, коли Воен Джонс відкрив многочлен Джонса. Це відкриття привело до виявлення ще кількох многочленів, таких як многочлен HOMFLY.

Незабаром після відкриття Джонса Шаблон:Нп зауважив, що многочлен Джонса можна обчислити в термінах моделі сум станів, яка використовує дужки Кауфмана, інваріант Шаблон:Не перекладено вузлів. Це відкрило широку дорогу для досліджень в галузі теорії зачеплення вузлів і статистичній механіці.

В кінці 1980-х років здійснено два прориви: Едвард Віттен продемонстрував, що многочлен Джонса і схожі інваріанти цього типу описано в Шаблон:Нп; Віктор Васильєв і Шаблон:Не перекладено створили теорію Шаблон:Не перекладено вузлів. Відомо, що коефіцієнти згаданих многочленів мають скінченний тип (можливо, після деякої «підстановки змінних»).

2003 року показано, що многочлен Александера пов'язаний з Шаблон:Не перекладено. Градуйована ейлерова характеристика Шаблон:Не перекладено Ожвата і Сабо є многочленом АлександераШаблон:Sfn.

Приклад

Запис Александера — Бріггса	Многочлен Александера $\mathrm{\Delta }(t)$	Многочлен Конвея $\mathrm{\nabla }(z)$	Многочлен Джонса $V(q)$	Многочлен HOMFLY $H(a,z)$
$0_1$ (тривіальний вузол)	$1$	$1$	$1$	$1$
$3_1$ (Трилисник)	$t-1+t^{-1}$	$z^2+1$	$q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$	$-a^4+a^2{z}^2+2a^2$
$4_1$ (Вісімка)	$-t+3-t^{-1}$	$-z^2+1$	$q^2-q+1-q^{-1}+q^{-2}$	$a^2+a^{-2}-z^2-1$
$5_1$ (Перстач)	$t^2-t+1-t^{-1}+t^{-2}$	$z^4+3z^2+1$	$q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}$	$-a^6{z}^2-2a^6+a^4{z}^4+4a^4{z}^2+3a^4$
$-$ (Бабин вузол)	${(t-1+t^{-1})}^2$	${(z^2+1)}^2$	${(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})}^2$	${(-a^4+a^2{z}^2+2a^2)}^2$
$-$ (Прямий вузол)	${(t-1+t^{-1})}^2$	${(z^2+1)}^2$	$(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^3-q^4)$	$(-a^4+a^2{z}^2+2a^2)\times$ $(-a^{-4}+a^{-2}{z}^{-2}+2a^{-2})$

Запис Александера — Бріггса — це нотація, яка перелічує вузли за їхнім числом перетинів, при цьому зазвичай до списку включають лише прості вузли (дивіться Шаблон:Не перекладено).

Зауважимо, що многочлен Александера і многочлен Конвея НЕ МОЖУТЬ розрізнити лівий і правий трилисники.

• 
  Лівий трилисник
• 
  Правий трилисник

Не розрізняють вони також бабин вузол і прямий вузол, оскільки композиція вузлів у

${ℝ}^3$

дає добуток многочленів вузлів.

Див. також

Многочлени вузла

• Многочлен Александера
• Дужка Кауфмана
• Многочлен HOMFLY
• Многочлен Джонса
• Многочлен Кауфмана

Пов'язані теми

• Скейн-співвідношення для формального визначення многочлена Александера.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття