Зсув Бернуллі

У математиці схема Бернуллі або зсув Бернуллі є узагальненням Шаблон:Нп для більш ніж двох можливих результатів. Схеми Бернуллі природно проявляються в Шаблон:Нп, і тому важливі при досліджені динамічних систем. Багато важливих динамічних систем (такі як аксіома А в теорії динамічних систем) мають атрактор, який є добутком множини Кантора і гладкого многовиду, а динаміка на множині Кантора ізоморфна динаміці зсуву Бернуллі.  По суті, це Шаблон:Нп. Термін «зсув» відноситься до оператора зсуву, який може бути використаний для вивчення схем Бернуллі. Шаблон:Нп показує, що зсуви Бернуллі є ізоморфними, якщо їх Шаблон:Нп однакова.

Означення

Схема Бернуллі — це Шаблон:Нп стохастичний процес, де кожна незалежна випадкова величина може приймати одне з $N$ різних можливих значень, причому $i$-й результат відбувається з імовірністю $p_i$, при $i=1,\dots ,N$, і

$\sum _{i=1}^N{p}_i=1.$

Простір елементарних подій як правило позначається

$X=\{1,\dots ,N{\}}^{\mathbb{Z}}$

як скорочення для

$X=\{x=(\dots ,x_{-1},x_0,x_1,\dots ):x_k\in \{1,\dots ,N\}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z}\}.$

Пов'язана міра називається мірою Бернуллі

σ-algebra $𝒜$ на $X$ є добутком $\sigma$-алгебр, тобто це (скінченний) прямий добуток $\sigma$-алгебр скінченної множини $\{1,\dots ,N\}$. Таким чином, трійка

$(X,𝒜,\mu )$

є простором з мірою. Базис $𝒜$ є Шаблон:Нп. Нехай задано циліндричну множину $[x_0,x_1,\dots ,x_n]$, її мірою є

$\mu ([x_0,x_1,\dots ,x_n])=\prod _{i=0}^n{p}_{x_i}.$

Еквівалентний вираз з використанням позначень теорії ймовірностей має вигляд

$\mu ([x_0,x_1,\dots ,x_n])=\mathrm{P}\mathrm{r}(X_0=x_0,X_1=x_1,\dots ,X_n=x_n)$

для випадкових величин $\{X_k\}$.

Схему Бернуллі, як і будь-який стохастичний процес, можна розглядати як динамічну систему з оператором зсуву $T$, де

$T(x_k)=x_{k+1}.$

Оскільки результати незалежні, то зсув зберігає міру, і, отже, $T$ є Шаблон:Нп. Четвірка

$(X,𝒜,\mu ,T)$

є Шаблон:Нп, і називається схемою Бернуллі або зсувом Бернуллі. Її часто позначають як

$BS(p)=BS(p_1,\dots ,p_N).$

При $N$ = 2 схема Бурнуллі називається Шаблон:Нп. Зсув Бернуллі можна розуміти як окремий випадок , Шаблон:Нп, де всі елементи матриці сумжності одиниці. Таким чином, відповідний граф є клікою.

Відповідності та метрика

Відстань Геммінга забезпечує природну метрику для схеми Бернуллі. Інша важлива метрика, так звана $\bar{f}$-метрика, визначається через супремум над відповідностями рядків

Нехай $A=a_1{a}_2\cdots a_m$ і $B=b_1{b}_2\cdots b_n$ — два набори символів. Відповідність є послідовністю $M$ пар $(i_k,j_k)$ набору. Тобто пари для яких $a_{i_k}=b_{j_k}$, вважаються повністю впорядкованими. Кожна окрема підпослідовність $i_k$ і $j_k$ впорядковується: $1\le i_1<i_2<\cdots <i_r$, і у такий же спосіб $1\le j_1<j_2<\cdots <j_r\le n$.

$\bar{f}$-відстанню між $A$ і $B$ є

$\bar{f}(A,B)=1-\frac{2\sup |M|}{m+n},$

де супремум беремо за усіма відповідностями $M$ між $A$ і $B$. Так означена відстань задовольняє нерівність трикутника лише при умові, що $m=n,$ і тому це не зовсім справжня метрика. Незважаючи на це, в літературі загальновживаним є термін «відстань».

Узагальнення

Більшість властивостей схеми Бернуллі випливають із зліченного прямого добутку, ніж з скінченного базового простору. Таким чином, можна прийняти за базовий простір Шаблон:Нп $(Y,ℬ,\nu )$ і визначити схему Бернуллі як

$(X,𝒜,\mu )=(Y,ℬ,\nu {)}^{\mathbb{Z}}.$

Такий підхід є конструктивним, оскільки зліченний прямий добуток стандартного простору ймовірностей знову є стандартним простором ймовірностей.

Для іншого узагальнення можна замінити цілі числа $\mathbb{Z}$ на зліченну дискретну групу $G$. Таким чином,

$(X,𝒜,\mu )=(Y,ℬ,\nu {)}^G.$

У цьому випадку оператор зсуву замінюється на дію групи

$gx(f)=x(g^{-1}f)$

для елементів групи, $f,g\in G$ і $x\in Y^G$ розуміється як функція $x:G\to Y$ (будь-який прямий добуток $Y^G$ розуміємо як множину функції $[G\to Y]$, оскільки це є експоненційний об'єкт . Міра $\mu$ вибирається як міра Хаара, яка інваріантна під дією групи:

$\mu (gx)=\mu (x).$

Ці узагальнення також загальнопринято називати схемами Бернуллі, оскільки вони все ще зберігають більшість властивостей скінченного випадку.

Властивості

Яків Синай показав, що Шаблон:Нп схеми Бернуллі визначається як

$H=-\sum _{i=1}^N{p}_i\log p_i.$

Ця формула для ентропії випливає із загального означення ентропії прямого декартового добутку ймовірносних просторів, яке випливає з Шаблон:Нп. У випадку загального базового простору $(Y,ℬ,\nu )$ (тобто базовий простір, який не є зліченним) зазвичай розглядається відносна ентропія. Так, наприклад, якщо маємо зліченне розбиття

$H_{Y^{\prime }}=-\sum _{y^{\prime }\in Y^{\prime }}\nu (y^{\prime })\log \nu (y^{\prime }).$

У загальному випадку ця ентропія залежить від розбиття. Однак для багатьох динамічних систем, коли Шаблон:Нп не залежить від розбиття (скоріше існують ізоморфізми, які пов'язують символьну динаміку різних розбиттів і залишають міру інваріантною), і тому такі системи можуть мати добре визначену ентропію, яка не залежить від розбиття.

Теорема про ізоморфізм Орнштейна

Шаблон:Нп стверджує, що дві схеми Бернуллі з однаковою ентропією ізоморфні. Результат є дуже особливим, оскільки для несхематичних систем, таких як Шаблон:Нп немає подібної властивості. Теорема про ізоморфізм насправді набагато глибша: вона забезпечує простий критерій, за допомогою якого багато різних Шаблон:Нп, можна вважати ізоморфними схемам Бернуллі. Результат виявився неочікуваним, оскільки багато систем, які раніше вважалися непов'язаними, виявились ізоморфними. До них відносяться скінченні стаціонарні стохастичні процеси, Шаблон:Нп, скінченні ланцюги Маркова, дифероморфізми Аносова і Шаблон:Нп: всі вони ізоморфні до схем Бернуллі.

В узагальненому випадку теорема про ізоморфізм Орнштейна залишається справедливою, якщо група $G$ є зліченною нескінченною Шаблон:Нп.

Автоморфізм Бернуллі

Оборотне Шаблон:Нп Шаблон:Нп (простір Лебега) називають автоморфізмами Бернуллі , якщо воно ізоморфне зсуву Бернуллі.

Див. також

• Шаблон:Нп
• Ланцюги Маркова
• Шаблон:Нп