Купол (геометрія)

Множина куполів
П'ятисхилий купол (приклад)
Тип	Множина куполів
Символ Шлефлі	{n} \|\| t{n}
Граней	2n+2 : n рівнобедрених трикутників, n прямокутників, 1 правильний n-кутник, 1 2n-кутник
Ребер	5n
Вершин	3n
Характеристика Ейлера	$χ = Γ - P + B = 2$
Позначення	U_n (Шаблон:Не перекладено)
Група симетрії	Шаблон:Не перекладено, [n], (*nn), порядок 2n (Циклічна симетрія n-Піраміди)
Група поворотів	C_n, [n]⁺, (nn), порядок n
Дуальний многогранник	?
Властивості	опуклий

Ку́пол (n-схилий купол) — тіло, утворене з'єднанням двох багатокутників, у якому один (основа) має вдвічі більше сторін, порівняно з іншим (верхньою гранню). З'єднання багатокутників здійснюється рівнобедреними трикутниками і прямокутниками.

n-схилий купол — призматоїд, що складається з 2n-кутника (нижня основа купола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: n прямокутників та n рівнобедрених трикутників. При чому нижня грань може бути правильним 2n-кутником, або напівправильним 2n-кутником^[1], у якого сторони рівні через одну і всі кути рівні.

Купол можна розглядати як призму, де один з багатокутників наполовину стягнуто попарним об'єднанням вершин.

Куполу можна приписати розширений символ Шлефлі {n} || t{n}, що описує правильний багатокутник {n}, з'єднаний з паралельною йому зрізаною копією, t{n} або {2n}.

Куполи є підкласом призматоїдів.

Його двоїстий многогранник має форму, яка є свого роду поєднанням половини n-стороннього трапецоедра та 2n-гранної піраміди.

Купол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи.

Два купола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи многогранник Шаблон:Нп.

Куполи і бікуполи існують як нескінченні множини многогранників, так само, як множини пірамід, біпірамід, призм, антипризм, трапецоедрів та ін.

Приклади

Шаблон:Куполи Трикутну призму можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).

Якщо бокові грані купола є правильними трикутниками та квадратами, тоді як основа і верхня грань є правильними багатокутниками, купол є многогранником Джонсона. Ці куполи: трисхилий купол, чотирисхилий і Шаблон:Нп, можна отримати, взявши зрізи кубооктаедра, ромбокубооктаедра і ромбоікосододекаедра відповідно.

Якщо купол має всі ребра одинакової довжини $a$ (правильногранний) ‒ n = 3, 4, 5, то: Висота купола:

$H = \sqrt{1 - \frac{1}{4} \cdot \csc^{2} (\frac{π}{n})} \cdot a$

Радіус описаної сфери:

$R = \sqrt{\frac{7 + 4 \cdot \cos (\frac{π}{n}) - 4 \cdot \cos^{2} (\frac{π}{n})}{12 - 16 \cdot \cos^{2} (\frac{π}{n})}} \cdot a$

Рівносторонній «Шестисхилий купол» є плоскою фігурою. Таким чином, сімейство куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно.

Куполи з числом сторін багатокутників n > 5 можна побудувати тільки з неправильними трикутними і прямокутними гранями.

Координати вершин

Визначення купола не вимагає правильності основи і верхньої грані, але зручно розглядати випадки, в яких куполи мають максимальну симетрію, C_nv. В цьому випадку верхня грань є правильним n-кутником, тоді як основа є правильним 2n-кутником, або 2n-кутником з двома різними довжинами сторін (через одну) і тими ж кутами, що й у правильного 2n- кутника.

Розташуємо купол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в початку координат, а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V₁ до V_2n, а вершини верхньої грані — числами від A₁ до A_n.

Координати вершин^[2] тоді можна записати таким чином:

$A_{k} = (r \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n}), r \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n}), h)$

$V_{(2 k - 1)} = (R \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} + \frac{π}{2 n}), R \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} + \frac{π}{2 n}), 0)$

$V_{(2 k)} = (R \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} - \frac{π}{2 n}), R \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} - \frac{π}{2 n}), 0)$

де k = 1, 2, …, n.

$r = \frac{a}{2 \cdot \sin (\frac{π}{n})}$ ‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)

$R = \frac{a}{2 \cdot \sin (\frac{π}{2 n})}$ ‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)

$a$ ‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.

h ‒ висота купола

Координати вершин купола, повернутого на деякий кут $α$ навноло його осі (осі z):

$A_{k} = (r \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} + α), r \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} + α), h)$

$V_{(2 k - 1)} = (R \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} + \frac{π}{2 n} + α), R \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} + \frac{π}{2 n} + α), 0)$

$V_{(2 k)} = (R \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} - \frac{π}{2 n} + α), R \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} - \frac{π}{2 n} + α), 0)$

де k = 1, 2, …, n.

Антикуполи

Множина антикуполів
П'ятисхилий антикупол (приклад)
Тип	Множина антикуполів
Символ Шлефлі	s{n} \|\| t{n}
Граней	n рівнобедрених трикутників, 2n різносторонніх трикутників, 1 правильний n-кутник, 1 правильний 2n-кутник
Ребер	6n
Вершин	3n
Характеристика Ейлера	$χ = Γ - P + B = 2$
Позначення	V_n (Шаблон:Не перекладено)
Група симетрії	C_nv, [1,n], (*nn), порядок 2n
Група поворотів	C_n, [1,n]⁺, (nn), порядок n
Дуальний многогранник	?
Властивості	опуклий

Антику́пол (n‒ кутний антикупол) — тіло, що складається з правильного 2n-кутника (основа антикупола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та 3n трикутників двох типів (n рівнобедрених трикутників та 2n різносторонніх трикутників).

При n = 2, верхня грань вироджується в ребро. Антикуполи є підкласом призматоїдів.

Антикупол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ та перпендикулярна їм, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь многогранника та вершини нижньої основи.

Не можна побудувати n-кутний антикупол, щоб всі його грані були правильними багатокутниками; лише деякі грані можуть бути зроблені правильними.

Сімейство опуклих антикуполів
n	2	3	4	5	6…
Назва	Дигональний антикупол	Трисхилий антикупол	Чотирисхилий антикупол	П'ятисхилий антикупол	Шестисхилий антикупол
Антикупол
Прозоре зображення
Символ Шлефлі	s{2} \|\| t{2}	s{3} \|\| t{3}	s{4} \|\| t{4}	s{5} \|\| t{5}	s{6} \|\| t{6}
Розгортка

Координати вершин антикупола

Координати вершин n ‒ антикупола можемо отримати з координат вершин n ‒ купола шляхом повороту верхнього n ‒ кутника на кут $β = \frac{π}{2 n}$

Розташуємо антикупол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в початку координат, а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V₁ до V_2n, а вершини верхньої грані — числами від A₁ до A_n.

Координати вершин^[2] тоді можна записати таким чином:

$A_{k} = (r \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} \pm \frac{π}{2 n}), r \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} \pm \frac{π}{2 n}), h)$

Поворот n — кутника відбувається по- або проти годинникової стрілки (відповідно знаки «‒» або «+»)

$V_{(2 k - 1)} = (R \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} + \frac{π}{2 n}), R \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} + \frac{π}{2 n}), 0)$

$V_{(2 k)} = (R \cdot \cos (\frac{2 π \cdot k}{n} - \frac{π}{2 n}), R \cdot \sin (\frac{2 π \cdot k}{n} - \frac{π}{2 n}), 0)$

де k = 1, 2, …, n.

$r = \frac{a}{2 \cdot \sin (\frac{π}{n})}$ ‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)

$R = \frac{a}{2 \cdot \sin (\frac{π}{2 n})}$ ‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)

$a$ ‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.

h ‒ висота антикупола.

Два антикупола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, та утворюють многогранник біантикупол.

Антикуполи і біантикуполи існують як нескінченні множини многогранників, так само, як множини пірамід, біпірамід, призм , антипризм , трапецоедрів та ін.

Зірчасті куполи

Шаблон:Зірчасті куполи Шаблон:Зірчасті куполоїди Зірчасті куполи існують для всіх основ {n/d}, де ⁶/₅ < ⁿ/_d < 6 і d непарне. На границях куполи перетворюються на плоскі фігури. Якщо d парне, нижня основа {2n/d} вироджується — ми можемо утворити куполоїд або напівукупол шляхом видалення цієї виродженої грані і дозволивши трикутникам і квадратам з'єднуватися один з одним. Зокрема, тетрагемігексаедр можна розглядати як {3/2}-куполоїд. Усі куполи орієнтовані, тоді як всі куполоїди неорієнтовані. Якщо в куполоїда n/d > 2, трикутники і квадрати не покривають всю основу і на ній залишається тоненька перетинка, яка просто закриває отвір. Таким чином, куполоїди {5/2} і {7/2} на малюнку вище мають перетинки (не заповнені), тоді як куполоїди {5/4} і {7/4} їх не мають.

Висота h купола {n/d} або куполоїда задається формулою

$h = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^{2} (\frac{π d}{n})}}$ .

Зокрема, h = 0 на границях n/d = 6 та n/d = 6/5, і h максимальне при n/d = 2 (трикутна призма, де трикутники розташовані вертикально)^[3]^[4].

На малюнках вище зірчасті куполи показано в кольорах, щоб підкреслити їх грані — грань n/d-кутника показано червоним, грань 2n/d-кутника показано жовтим, квадрати подано синім кольором, а трикутники — зеленим. Куполоїди мають червоні n/d-кутні грані, жовті квадратні грані, а трикутні грані пофарбовано в блакитний колір, другу ж основу видалено.

Гіперкуполи

Гіперкуполи або многогранні куполи — це сімейство опуклих неоднорідних чотиривимірних многогранників, аналогічних куполам. Основами кожного такого многогранника є правильний многогранник (тривимірний) і його розтягнення Шаблон:Sfn.

В таблиці використовується поняття сегментогранник (Шаблон:Lang-en) — це фігура, що задовольняє таким властивостям:

1. всі вершини розташовані на одній гіперсфері

2. всі вершини розташовані на двох паралельних гіперплощинах

3. всі ребра мають довжину 1

У площині існує два сегментогранники (сегментокутники) — правильний трикутник і квадрат.

У 3-вимірному просторі до них належать піраміди, призми, антипризми, куполи.

Назва	Шаблон:Нп		Шаблон:Нп		Шаблон:Нп		Додекаедричний купол		Шестикутний мозаїчний купол
Символ Шлефлі	{3,3} ∨ rr{3,3}		{4,3} ∨ rr{4,3}		{3,4} ∨ rr{3,4}		{5,3} ∨ rr{5,3}		{6,3} ∨ rr{6,3}
Індекс сегментогранника Шаблон:Sfn	K4.23		K4.71		K4.107		K4.152
Радіус описаного кола	1		$\sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}}{2}}$ $\approx 1.485634$		$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ $\approx 1.847759$		$3 + \sqrt{5}$ $\approx 5.236068$
Малюнок
Головні комірки
Вершин	16		32		30		80		∞
Ребер	42		84		84		210		∞
Граней	42	24 {3} + 18 {4}	80	32 {3} + 48 {4}	82	40 {3} + 42 {4}	194	80 {3} + 90 {4} + 24 {5}	∞
Комірок	16	1 тетраедр 4 трикутні призми 6 трикутних призм 4 трикутні призми 1 кубооктаедр	28	1 куб 6 квадратних призм 12 трикутних призм 8 трикутних пірамід 1 ромбокубооктаедр	28	1 октаэдр 8 трикутних призм 12 трикутних призм 6 квадратних пірамід 1 ромбокубооктаедр	64	1 додекаедр 12 п'ятикутних призм 30 трикутних призм 20 трикутних пірамід 1 ромбоікосододекаедр	∞	1 шестикутна мозаїка ∞ шестикутних призм ∞ трикутних призм ∞ трикутних пірамід 1 ромботришестикутна мозаїка
Пов'язані однорідні 4-вимірні многогранники	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД		Шаблон:Нп Шаблон:ДКД		Шаблон:Нп Шаблон:ДКД		Шаблон:Нп Шаблон:ДКД		Шаблон:Нп Шаблон:ДКД