Вагова функція

Вагова функція — спеціальна математична конструкція, яка використовується при підсумовуванні, інтегруванні чи усередненні, щоб надати більшої «ваги» певним елементам в кінцевому результаті порівняно з іншими елементами. Потреба у введені таких функцій часто виникає в статистиці та математичному аналізі. Поняття вагової функції тісно пов'язане з теорією міри. Вагові функції можуть використовуватись як із дискретними, так і з неперервними величинами.

Дискретний випадок

Дискретна вагова функція $w:A\to {ℝ}^{+}$ — невід'ємна функція, визначена на дискретній множині значень $A$, яка зазвичай скінченна або зліченна. Одинична вагова функція $w(a):=1$ відповідає звичайному, незваженому випадку, коли всі елементи мають однакову вагу.

Нехай задано деякий набір дійсних значень, які занумеровані елементами множини $A$:

$\{f(a),a\in A\}.$

Тоді звичайна незважена сума елементів $f(a)$ по множині $A$ визначається як

$S=\sum _{a\in A}f(a).$

У зваженій сумі з вагою $w$, ми кожному елементу $f(a)$ надаємо відповідну вагу $w(a)$, домножуючи його на значення ваги, і тоді зважена сума визначається таким чином:

$S_w=\sum _{a\in A}f(a)w(a).$

Незваженим середнім значенням по скінченній множині $A$ називається сума вигляду

$\frac{1}{|A|}\sum _{a\in A}f(a)$,

де $|A|$ — потужність множини $A$, тобто кількість її елементів.

У зваженому середньому потужність $|A|$ замінюють на зважену потужність, суму ваг всіх елементів

$\sum _{a\in A}w(a).$

Зважене середнє арифметичне у такому випадку визначається як

$\overline{f}=\frac{\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}.$

Застосування

Термін вагова функція виник з механіки: при обчисленні цента мас системи з $n$ точкових тіл з масами $w_1,\dots ,w_n$, центри мас яких розміщенні в точках з координатами ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$ центр мас системи буде розміщений в точці з координатами

$\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{𝒙}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$,

яку можна інтерпретувати як середнє зважене координат ${𝒙}_i$.

Найпоширеніші області застосування зважених сум — чисельне інтегрування та цифрова фільтрація сигналів.

Зважені суми використовуються у задачах багатокритеріальної оптимізації для переходу від декількох часткових критеріїв оптимальності до єдиного інтегрального критерію, який часто є зваженою сумою часткових критеріїв.

Також широко застосовуються у економіко-математичних методах аналізу даних та задачах машинного навчання.

Зважене середнє часто використовується у статистиці для компенсації похибок в оцінках. Нехай, для істинного значення $f$, отримано незалежно один від одного декілька значень $f_i$ з дисперсіями ${\sigma }_i^2$, тоді найкраще наближення істинного значення отримуємо як середнє зважене часткових результатів з вагами $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$: дисперсія так отриманого наближення буде меншою за кожну з часткових дисперсій ${\sigma }^2=1/\sum w_i$. Також застосовується в методі максимальної правдоподібності.

Неперервний випадок

У випадку неперервних величин, вагова функція — міра $w(x)dx$ задана в деякій області $\mathrm{\Omega }$. Міру, в певному сенсі, можна вважати узагальненням поняття вагової функції.

У випадку якщо $\mathrm{\Omega }$ є підмножиною евклідового простору ${ℝ}^n$, то під $dx$ розуміють міру Лебега на ${ℝ}^n$, а $w:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{+}$ — невід'ємна функція. В даному контексті вагова функція $w(x)$ часто розуміється як густина.

Нехай $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — дійснозначна функція, то окрім незваженого інтеграла

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx$

можна розглядати зважений інтеграл

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx.$

Оскільки за означенням інтеграл

$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(E):=\underset{E}{\int }1dx,E\subset \mathrm{\Omega },$

виступає як об'єм множини $E$, то можна ввести поняття зваженого об'єму

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_w(E):=\underset{E}{\int }w(x)dx$

та, відповідно, зваженого середнього значення функції $f$ по множині $E$:

$\frac{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx}{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }w(x)dx}=\frac{1}{{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_w(E)}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx.$

Введення вагової функції дозволяє узагальнити поняття інтеграла, як границі відповідної зваженої суми. Такі узагальнення інтеграла часто використовують у статистиці, теорії випадкових процесів, теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

У випадку, коли міра є дискретною, ми отримуємо попередній дискретний випадок — всі інтеграли замінюються підсумовуванням.

Скалярний добуток

Нехай $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ та $g:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — дві задані функції. Тоді крім звичайного скалярного добутку

$⟨f,g⟩:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)g(x)dx$

можна розглядати зважений скалярний добутокШаблон:Sfn

$⟨f,g⟩:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)g(x)w(x)dx.$

Прикладами зважених ортогональних функцій (у просторі $L^2$) є ортогональні поліноми і пов'язані з ними функції, а також ряд інших спеціальних функцій.

Див. також

• Центр мас
• Ортогональність
• Середнє зважене
• Ядро (статистика)
• Теорія міри
• Інтеграл Стілтьєса

Література

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

Посилання

• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weight Шаблон:Webarchive