Теорема Віталі про покриття

Теорема Віталі про покриття у теорії міри стверджує про можливість покриття майже всієї підмножини E у ${ℝ}^d$ сім'єю множин, що взаємно не перетинаються і є частиною «покриття Віталі» множини E.

Покриття майже всієї множини означає за винятком підмножини міри нуль. Початково теорема була доведена для міри Лебега λ_d на ${ℝ}^d$ але існують варіанти теореми для інших мір. Загальне твердження для міри Лебега вперше було дане Лебегом , оригінальний результат Віталі розглядав покриття гіперкубами.

Необхідні означення

Покриття V підмножини E простору ${ℝ}^d$ називається покриттям Віталі, якщо для всіх точок x множини E у V існує послідовність множин, що прямує до x, тобто множин, що містять x і діаметр яких прямує до 0.

Якщо V є покриттям Віталі підмножини E деякої відкритої множини у ${ℝ}^d$ то сім'я елементів V, що містяться у цій відкритій множині знову є покриттям Віталі множини E.

Для загального твердження необхідно ввести поняття регулярної множини.

Вимірна множина F у ${ℝ}^d$ називається Шаблон:Math-регулярною (в сенсі Лебега), для деякої константи Шаблон:Math > 0, якщо існує відкрита куля B для якої $B\supset F\wedge {\lambda }_d(F)⩾\gamma {\lambda }_d(B).$

Сім'я множин називається регулярною якщо всі її множини є Шаблон:Math-регулярними для деякої спільної константи Шаблон:Math. Кулі (для довільної норми) утворюють регулярну сім'ю у ${ℝ}^d$, як і прямокутники у ${ℝ}^2$ відношення сторін яких знаходиться між деяким додатним дійсним числом і його оберненим. Натомість сім'я всіх прямокутників не є регулярною.

Регулярним покриття в сенсі Віталі підмножини E у ${ℝ}^d$ називається сім'я V підмножин ${ℝ}^d$ така, що для всіх точок x у E, існує регулярна послідовність множин V, яка «прямує до x» (константа регулярності може при цьому не бути однаковою для всіх x).

Твердження для міри Лебега

Нехай E (не обов'язково вимірна) підмножина у ${ℝ}^d$ і V є регулярним покриттям в сенсі Віталі множини E замкнутими підмножинами. Тоді у V можна вибрати не більш, ніж зліченну підсім'ю D множин, що взаємно не перетинаються і для якої

${\lambda }_d(E\setminus {\cup }_{F\in D}F)=0.$

Доведення для випадку, якщо елементами V є замкнуті кулі

Без втрати загальності можна припустити, що всі радіуси куль із V є меншими 1. Згідно леми Віталі про нескінченні покриття у V можна вибрати не більш, ніж зліченну множину куль D елементи якої взаємно не перетинаються і кожна куля B із V перетинається із кулею B' у D для якої B ⊂ 5B'.

Позначимо B(r) відкриту кулю радіуса r. Необхідно довести, що для всіх r > 0, множина Z точок у E∩ B(r), що не належать жодній кулі із D має міру нуль.

Позначимо (F_n) підмножину куль із D які мають непорожній перетин із B(r). Оскільки їх радіуси є меншими 1, то їх об'єднання є підмножиною кулі B(r + 2) і, оскільки вони взаємно не перетинаються, сума їх мір є скінченною. Тому для всіх ε > 0 існує ціле число N для якого

$\sum _{n>N}{\lambda }_d(F_n)<\epsilon .$

Позначимо K = F₀ ∪ … ∪ F_N. Для кожної точки z у Z, оскільки z належить множині E і відкритій множині B(r)\K, вона також належить деякій кулі B із V, що міститься у B(r)\K. Ця куля B є підмножиною 5B' для деякої кулі B' у D, яка має непустий перетин із B ⊂ B(r)\K, тобто є рівною F_n для деякого n > N. Тому $Z\subset {\cup }_{n>N}5F_n$ і:

${\lambda }_d(Z)⩽{\lambda }_d({\cup }_{n>N}5F_n)⩽\sum _{n>N}{\lambda }_d(5F_n)=5^d\sum _{n>N}{\lambda }_d(F_n)<5^d\epsilon .$

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх ε > 0, то Z є множиною міри нуль. Загалом твердження випливає з того, що множину E можна покрити зліченною кількістю куль B(r) і об'єднання зліченної кількості множин міри нуль є множиною міри нуль.

Доведення для загального випадку

Припустимо спершу, що E є обмеженою множиною, тобто міститься у деякій відкритій кулі B і в означенні регулярного покриття Віталі можна обрати єдину константу регулярності для всіх точок E.

Без втрати загальності вважатимемо, що всі замкнуті множини із V також містяться у кулі B.

Індуктивно побудуємо послідовність (F_n) (скінченну чи нескінченну) елементів V. Для кожного натурального числа n, позначимо V_n множину елементів V, які не перетинаються із жодним елементом F_k для 0 ≤ k < n. Якщо V_n є порожньою множиною, то побудова завершується. В іншому випадку позначимо δ_n верхню межу мір елементів V_n і виберемо як F_n деякий елемент V_n із мірою більшою, ніж δ_n/2.

Оскільки елементи F_n попарно не перетинаються і містяться у B, сума чисел δ_n є скінченною і зокрема δ_n → 0, а тому жоден з елементів V не належить усім V_n.

Зроблені гіпотези регулярності дозволяють для кожного елемента F у V вибрати кулю B_F, радіуса r_F, що містить F і міра якої є рівною мірі F поділеній на Шаблон:Math. Далі доведення схоже до попереднього: для всіх F у V, якщо n є таким цілим числом, що F належить V_n але має непустий перетин із F_n то з цього перетину випливає, що $F\subset B_F\subset (1+2k)B_{F_n},$ де $k=\sqrt[d]{\frac{2}{\gamma }}.$

Це випливає з того, що:

$\frac{r_F}{r_{F_n}}=\sqrt[d]{\frac{{\lambda }_d(B_F)}{{\lambda }_d(B_{F_n})}}⩽\sqrt[d]{\frac{{\lambda }_d(F)/\gamma }{{\lambda }_d(F_n)}}⩽\sqrt[d]{\frac{{\delta }_n/\gamma }{{\delta }_n/2}}=k.$

До того ж:

${\lambda }_d((1+2k)B_{F_n})=(1+2k{)}^d{\lambda }_d(B_{F_n})⩽\frac{(1+2k{)}^d}{\gamma }{\lambda }_d(F_n)⩽\frac{(1+2k{)}^d}{\gamma }{\delta }_n.$

Як і в попередньому доведенні звідси випливає, що множина точок E які не належать жодній із множин F_n має міру нуль.

Для загального випадку для кожного цілого числа n > 0, позначимо E_n множину точок E із відстанню не більшою n від початку координат і константою регулярності більшою від 1/n. Достатньо рекурентно задати послідовність (D_n) не більш, ніж зліченних сімей елементів V, таку що об'єднання D містить елементи, що взаємно не перетинаються і для всіх n:

${\lambda }_d(E_n\setminus {\cup }_{1⩽k⩽n,F\in D_k}F)⩽1/n.$

Для побудови D_n, достатньо застосувати попередній результат до обмеженої множини

$E_n\setminus {\cup }_{1⩽k<n,F\in D_k}F$

регулярного в сенсі Віталі покриття елементами з V константа регулярності яких є більшою 1/n і які попарно не перетинаються із елементами з попередніх D_k.

Твердження для міри Гаусдорфа

Існує варіант теореми для міра Гаусдорфа..

Нехай $E\subset {ℝ}^d$ є H^s-вимірною множиною і V є покриттям Віталі множини E. Тоді у V можна вибрати не більш, ніж зліченну сім'ю D множин, що взаємно не перетинаються і для якої або $H^s(E\setminus {\cup }_{U\in D}U)=0$ або $\sum _{U\in D}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(U{)}^s=\mathrm{\infty }.$}

Якщо додатково E має скінченну s-міру Гаусдорфа то для всіх ε > 0, можна вибрати D так, що:

$H^s(E)⩽\sum _{U\in D}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(U{)}^s+\epsilon .$

Див. також

• Лема Віталі про покриття

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.