Теорема Лумана — Меньшова

У комплексному аналізі, теорема Лумана — Меньшова стверджує, що неперервна комплекснозначна функція задана на відкритій підмножині комплексної площини є голоморфною якщо і тільки якщо вона задовольняє умови Коші — Рімана. Теорема є узагальненням теореми Едуарда Гурса, яка вимагала від функції f, диференційовності за Фреше, як функції із R² у R².

Повне твердження теореми: нехай D — відкрита підмножина у C і f : D → C є неперервною функцією. Припустимо, що часткові похідні $\partial f/\partial x$ і $\partial f/\partial y$ існують всюди окрім можливо не більш, ніж зліченної підмножини D. Тоді f є голоморфною якщо і тільки якщо вона всюди задовольняє умови Коші — Рімана:

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})=0.$

Історія

Голоморфна функція $f(x+iy)=u+iv$ визначена на області у комплексній площині задовольняє на цій області умови Коші — Рімана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

Щодо оберненого твердження, то якщо $f$ як функція дійсних змінних є диференційовною всюди в області або якщо часткові похідні $f$ є неперервними всюди то при виконанні умов Коші — Рімана функція $f$ є голоморфною функцією в області. Твердження для диференційовних функцій було доведено Едуардом Гурса у 1900 році і називається теоремою Гурса. Після цього здійснювалися дослідження щодо послаблення умов у твердженні цієї теореми. У 1905 році Дімітре Помпейу зазначив, що додаткові умови теорема Гурса можна послабити до диференційовності функцій майже всюди в області.

Луман зауважив, що лише існування часткових похідних всюди в області і виконання умов Коші — Рімана не є достатнім для голоморфності чи навіть неперервності функції в області: прикладом може бути така функція, яка не є неперервною у точці z = 0:

$f(z)=\{\begin{array}{ccc}\exp (-z^{-4}),& & z\ne 0\\ 0,& & z=0\end{array}$

У 1923 Луман подав доведення твердження, що неперервність функції в області разом із існуванням часткових похідних і виконанням умов Коші — Рімана є достатнім для її голоморфності у цій області. Проте доведення Лумана містило деякі неточності. Опубліковане Меньшовим у 1931 році доведення було повністю коректним. Доведення Меньшов використовувало інтеграл Лебега і теорему Бера. У 1933 році, математик Станіслав Сакс використав для твердження назву теорема Лумана — Меньшова.

Приклади

• Функція задана як f(z) = exp(−z⁻⁴) для z ≠ 0, f(0) = 0 задовольняє умови Коші — Рімана всюди але не є голоморфною (чи навіть неперервною) в точці z = 0. Цей приклад показує, що функція f має бути неперервною в твердженні теореми.

• Функція задана як f(z) = z⁵/|z|⁴ для z ≠ 0, f(0) = 0 є неперервною всюди і задовольняє умови Коші — Рімана в точці z = 0 але не є голоморфною в цій точці (чи будь-якій іншій). Це показує, що узагальнення теореми Лумана — Меньшова на єдину точку є невірним.

• Якщо f є неперервною в околі точки z, і $\partial f/\partial x$ і $\partial f/\partial y$ існують у точці z, то f є голоморфною в точці z якщо і тільки якщо вона у цій точці задовольняє умови Коші — Рімана.

Доведення

Лема

Нехай $I=[a,b]\subset ℝ$ і f — комплекснозначна функція на I для якої в кожній точці інтервалу існує похідна. Нехай E — замкнута підмножина в I і M > 0 — число для яких:

$|f(x)-f(y)|⩽M|x-y|,x\in E,y\in I.$

Тоді:

$|f(b)-f(a)-\underset{E}{\int }{f}^{\prime }(x)dx|⩽M{m}_1(I\setminus E),$

де $m_1$ позначає міру Лебега на $ℝ.$

Доведення

Нехай $J=[\alpha ,\beta ]\subset I$ і введемо функцію $f_J:ℝ\to ℂ$ як $f_J(x)=\lambda x+\mu ,$ де $\lambda =\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }$ і $\mu =\frac{\beta f(\alpha )-\alpha f(\beta )}{\beta -\alpha }.$ Для цієї функції виконується нерівність:

$|f_J(x)-f_J(y)|⩽\frac{|f(\beta )-f(\alpha )|}{\beta -\alpha }|x-y|,\mathrm{\forall }x,y\in ℝ.$

Позначимо $E_0=E\cup \{a\}\cup \{b\}$ і введемо функцію g на I як:

• $g{|}_{E_0}=f{|}_{E_0}$
• Якщо J є замиканням компоненти зв'язності множини $I\setminus E_0$ то $g{|}_J=f_J{|}_J$

Зауважимо, що обидва кінці такого інтервалу J належать $E_0$ і хоча б один кінець належить $E.$ При таких умовах:

$|g(x)-g(y)|⩽M|x-y|,\mathrm{\forall }x,y\in I.$

Для доведення цього можна припустити x < y і розглянути два випадки.

Випадок 1. x і y належать єдиному інтервалу $J=[\alpha ,\beta ],$ що доповнює $I\setminus E_0.$ У цьому випадку

$|g(x)-g(y)|⩽\frac{|f(\beta )-f(\alpha )|}{\beta -\alpha }|x-y|,$

і хоча б одне з чисел $\alpha ,\beta$ належить E. Згідно припущення $|f(\beta )-f(\alpha )|⩽|\beta -\alpha |,$ що завершує доведення у цьому випадку.

Випадок 2. x і y не належать єдиному інтервалу $J=[\alpha ,\beta ],$ що доповнює $I\setminus E_0.$ Тоді існує число $x<\xi <y,$ таке що $\xi \in E$ (в іншому випадку x і y належали б єдиному інтервалу). Якщо $x\in E_0$ то з того, що $\xi \in E$ випливає:

$|g(x)-g(\xi )|=|f(x)-f(\xi )|⩽M|\xi -x|.$

Якщо $x\in ̸E_0$ то нехай J буде інтервалом, що доповнює $E_0,$ що містить x і x' позначає крайню праву точку цього інтервалу. Тоді:

$|g(x)-g(\xi )|=|g(x)-g(x^{\prime })|+|g(x^{\prime })-g(\xi )|.$

Як і вище $|g(x^{\prime })-g(\xi )|⩽M(\xi -x^{\prime })$ і, згідно випадку 1 також $|g(x)-g(x^{\prime })|⩽M(x^{\prime }-x).$ Додавши ці дві нерівності отримуємо:

$|g(x)-g(\xi )|⩽M(\xi -x).$

Аналогічно $|g(\xi )-g(y)|⩽M(y-\xi )$ і додавши ці дві нерівності остаточно отримуємо необхідний результат.

Звідси випливає, що g є абсолютно неперервною і згідно теореми Лебега:

$g(b)-g(a)=\underset{E}{\int }{g}^{\prime }(x)dx+\underset{I\setminus E}{\int }{g}^{\prime }(x)dx.$

Далі $g(a)=f(a),g(b)=f(b)$ і $g^{\prime }=f^{\prime }$ у всіх неізольованих точках множини E. Таких ізольованих точок може бути не більш, ніж зліченна кількість і тому $g^{\prime }=f^{\prime }$ майже всюди на E. Також $g^{\prime }⩽M$ майже всюди на I. Із врахуванням всього отримуємо:

$|f(b)-f(a)-\underset{E}{\int }{f}^{\prime }(x)dx|=|\underset{I\setminus E}{\int }{g}^{\prime }(x)dx|⩽M{m}_1(I\setminus E).$

Лема 2

Нехай $D$ — відкрита множина на комплексній площині $ℂ={ℝ}^2$ і нехай $f$ буде неперервною функцією з $D$ у $ℂ$ для якої на $D$ існують часткові похідні. Позначимо $R=[a,b]\times [c,d]$ прямокутник у $D.$ Виберемо A > 0 так щоб $A^{-1}⩽(d-c)/(b-a)⩽A.$ Припустимо, що існує непуста замкнута множина $E$ у $D$ і додатне число $M$, такі що:

$\mathrm{\forall }(x,y)\in E,(w,y)\in D,(x,v)\in D:|f(x,y)-f(x,v)|⩽M|y-v|,|f(x,y)-f(w,y)|⩽M|x-w|$

Нехай $R_0\subset R$ є перетином усіх прямокутників, що містять $E\cap R.$ Якщо $E\cap R\ne \mathrm{\varnothing },$ то $R_0$ є замкнутим прямокутником, можливо виродженим (тобто вертикальним чи горизонтальним відрізком або точкою). Тоді:

$|\underset{\partial R_0}{\int }fdz-2i\int \underset{R\cap E}{\int }\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}dxdy|⩽8AM{m}_2(R\setminus R\cap E)$

де $m_2$ позначає міру Лебега.

Доведення

Нехай $R_0=[a_0,b_0]\times [c_0,d_0]=I\times J.$ Для $x\in I,$ позначимо $E_x=\{y\in J|(x,y)\in E\}.$

Згідно гіпотези:

$|f(x,y)-f(x,v)|⩽M|y-v|,\mathrm{\forall }y\in E_x,v\in J.$

Тому якщо $E_x\ne \mathrm{\varnothing }$ то, згідно попередньої леми:

$|f(x,c_0)-f(x,d_0)-\underset{E_x}{\int }\frac{\partial f}{\partial y}dy|⩽M{m}_1(J\setminus E_x)⩽4AM{m}_1(J\setminus E_x).$

Натомість, якщо $E_x\ne \mathrm{\varnothing }$ то можна знайти $\xi ,{\xi }^{\prime }\in I$ для яких $(\xi ,c_0)\in E\cap R,({\xi }^{\prime },d_0)\in E\cap R.$ Тоді:

$\begin{array}{cc}|f(x,c_0)-f(x,d_0)|& ⩽|f(x,d_0)-f({\xi }^{\prime },d_0)|+|f({\xi }^{\prime },d_0)-f({\xi }^{\prime },c_0)|+|f({\xi }^{\prime },c_0)-f(\xi ,c_0)|+|f({\xi }^{\prime },c_0)-f(\xi ,d_0)|⩽\\ & ⩽M(|x-{\xi }^{\prime }|+|d_0-c_0|+|{\xi }^{\prime }-\xi |+|\xi -x|).\end{array}$

Також $|d_0-c_0|⩽(d-c)$ і $|x-{\xi }^{\prime }|+|{\xi }^{\prime }-\xi |+|\xi -x|⩽3(b_0-a_0)⩽3(b-a)⩽3A(d-c).$ Остаточно у цьому випадку

$|f(x,c_0)-f(x,d_0)|⩽4AM(d-c).$

Таким чином можна записати в обох випадках:

$|f(x,c_0)-f(x,d_0)-\underset{E_x}{\int }\frac{\partial f}{\partial y}dy|⩽4AM(d-c-m_1(E_x)).$

Інтегруючи цей вираз по x отримуємо:

$|\underset{a_0}{\overset{b_0}{\int }}(f(x,c_0)-f(x,d_0))dx-\int \underset{E\cap R}{\int }\frac{\partial f}{\partial y}dxdy|⩽4AM((d-c)(b_0-a_0)-m_2(E\cap R_0))⩽4AM{m}_2(R\setminus E\cap R),$

оскільки $E\cap R=E\cap R_0.$

Аналогічно можна отримати другу нерівність

$|\underset{c_0}{\overset{c_0}{\int }}(f(b_0,y)-f(a_0,y))dy-\int \underset{E\cap R}{\int }\frac{\partial f}{\partial x}dxdy|⩽4AM{m}_2(R\setminus E\cap R).$

Для остаточного доведення потрібно другу нерівність домножити на $i$ додати до першої і використати рівності $2i\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=i\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ і

$\underset{\partial R_0}{\int }fdz=i\underset{c_0}{\overset{c_0}{\int }}(f(b_0,y)-f(a_0,y))dy+\underset{a_0}{\overset{b_0}{\int }}(f(x,c_0)-f(x,d_0))dx.$

Доведення теореми

Нехай $E^{\prime }$ — множина точок $z\in D$ для яких існує окіл в якому функція $f$ є голоморфною. Позначимо $E=D\setminus E^{\prime }.$ Ця множина буде найменшою замкнутою підмножиною $D$ для якої $f{|}_{D\setminus E}$ є голоморфною функцією. Згідно твердження теореми $E=\mathrm{\varnothing }.$

Припустимо, що це не так. Тоді при доведенні можна знайти відкриту підмножину $K\subset D$ і константу M > 0, для яких $K\cap E\ne \mathrm{\varnothing }$ і також для $z=x+iy\in E\cap K$ і $z_1=x^{\prime }+iy,z_2=x+i{y}^{\prime }\in K$ виконуються нерівності $|f(z_1)-f(z)|⩽M|x^{\prime }-x|$ і $|f(z_2)-f(z)|⩽M|y^{\prime }-y|$. При цьому f є голоморфною на K, що суперечить вибору E і умові $K\cap E\ne \mathrm{\varnothing }.$ Це протиріччя і завершить доведення теореми.

Для знаходження множини K введемо спершу $D_n$ як підмножини $D$ з такими властивостями:

$D_n=\{z|z\in D,|f(z+h)-f(z)|⩽n\left|h\right|,|f(z+ih)-f(z)|⩽n\left|h\right|,\mathrm{\forall }h\in ℝ,B(z,h)\subset D,\left|h\right|⩽1/n\}$

Із неперервності $f$ і властивості існування часткових похідних всюди випливає, що $D_n$ є замкнутою множиною і $D=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{D}_n,$ а тому $E=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}E\cap D_n$. Звідси, згідно теореми Бера, існує хоча б одне $D_n$ і відкрита підмножина $K$ у $D$, для яких $\mathrm{\varnothing }\ne E\cap K\subseteq E\cap D_n$.

$K$ можна вважати відносно компактною підмножиною $D,$ тоді, зокрема, існує число c > 0 для якого $|f|<c/2$ на $K.$ Тоді, якщо $z=x+iy\in E\cap K\subseteq E\cap D_n$ і $z_1=x^{\prime }+iy,z_2=x+i{y}^{\prime }\in K$ то виконуються нерівності

$|f(z_1)-f(z)|⩽\{\begin{array}{ccc}n|x^{\prime }-x|,& & |x^{\prime }-x|⩽\frac{1}{n}\\ cn|x^{\prime }-x|,& & |x^{\prime }-x|>\frac{1}{n}\end{array}$

і подібні для $|f(z_1)-f(z)|.$ Це доводить твердження для $M=\max (n,cn).$

Для доведення голоморфності f на K, згідно теореми Морери достатньо довести, що для кожного прямокутника $R=[a,b]\times [c,d]\subset K$ виконується рівність $\underset{\partial R}{\int }fdz=0.$

Виберемо A > 0 так щоб $A^{-1}⩽(d-c)/(b-a)⩽A.$ Нехай $\epsilon >0$ є довільним і відкрита множина $U\supset K$ така, що $m_2(U\setminus K)<\epsilon$ (така $U$ існує оскільки $E$ як закрита підмножина відкритої множини є вимірною і тому її зовнішня міра є рівною мірі).

Нехай $N⩾1.$ Прямокутник $R$ можна поділити на $4^N$ прямокутники $R_{\nu },\nu =1,\dots ,4^N$ повторюючи N раз процедуру поділу отриманих прямокутників на 4 за допомогою відрізків, що поєднують середини протилежних сторін. Якщо $R_{\nu }=[\alpha ,\beta ]\times [\gamma ,\delta ]$ то $(\delta -\gamma )/(\beta -\alpha )=(d-c)/(b-a)$ і тому також $A^{-1}⩽(\delta -\gamma )/(\beta -\alpha )⩽A.$

Для достатньо великого $N,$ якщо $R_{\nu }\cap E\ne \mathrm{\varnothing }$ то $R_{\nu }\subset U.$ Тоді:

$\underset{\partial R}{\int }fdz=\sum _{\nu }\underset{\partial R_{\nu }}{\int }fdz=\sum _{R_{\nu }\cap E\ne \mathrm{\varnothing }}\underset{\partial R_{\nu }}{\int }fdz$

оскільки для $R_{\nu }\subset K\setminus E$ згідно теореми Коші — Гурса $\underset{\partial R_{\nu }}{\int }fdz=0.$

Нехай $R_{\nu }^{(0)}$ позначає перетин всіх замкнутих прямокутників, що містять $R_{\nu }\cap E.$ Тоді $R_{\nu }^{(0)}$ є замкнутим прямокутником (можливо виродженим) і $\underset{\partial R_{\nu }}{\int }fdz=\underset{\partial R_{\nu }^{(0)}}{\int }fdz.$

Застосовуючи лему 2 до тих значень $\nu$ для яких $R_{\nu }\cup E\ne \mathrm{\varnothing }$ отримуємо:

$\left|\underset{\partial R_{\nu }}{\int }fdz\right|=\left|\underset{\partial R_{\nu }^{(0)}}{\int }fdz\right|=|\underset{\partial R_{\nu }^{(0)}}{\int }fdz-2i\int \underset{R_{\nu }\cup E}{\int }\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}dxdy|⩽8AM{m}_2(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E).$

Звідси:

$\left|\underset{\partial R}{\int }fdz\right|⩽\sum _{R_{\nu }\cap E\ne \mathrm{\varnothing }}\left|\underset{\partial R_{\nu }}{\int }fdz\right|⩽8AM\sum _{R_{\nu }\cap E\ne \mathrm{\varnothing }}{m}_2(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E).$

Оскільки для достатньо великого $N,$ якщо $R_{\nu }\cap E\ne \mathrm{\varnothing }$ то $R_{\nu }\subset U$ і два різних прямокутники $R_{\nu },R_{{\nu }^{\prime }}$ мають перетин двовимірна міра Лебега для якого є рівною нулю, то

$\sum _{R_{\nu }\cap E\ne \mathrm{\varnothing }}{m}_2(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E)⩽m_2(U\setminus U\cap E)<\epsilon .$

Тому $\left|\underset{\partial R}{\int }fdz\right|<8AM\epsilon$ і з довільності вибору $\epsilon$ випливає, що $\underset{\partial R}{\int }fdz=0.$ Тому функція f є голоморфною на K, що суперечить $K\cap E\ne \mathrm{\varnothing }.$

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.