Вузол (математика)

Вісімка (вузол Лістинга)

Вузол у математиці — вкладення кола (двовимірної сфери) в тривимірний евклідів простір, розглянуте з точністю до ізотопії. Основний предмет вивчення теорії вузлів. Два вузли топологічно еквівалентні, якщо один з них можна деформувати в інший, причому в процесі деформації не повинно виникати самоперетинів.

Частковим випадком є питання про розпізнавання тривіальності того чи іншого вузла, тобто про те, чи є заданий вузол ізотопним тривіальному вузлу (чи можна його розв'язати).

Для визначення того, чи є конкретний вузол тривіальним, можна використовувати різні інваріанти вузлів, наприклад многочлен Александера або фундаментальну групу доповнення. Зазвичай їх можна порахувати виходячи з вузлової діаграми.

Класифікація

Трилисник, вузол $3_1$ є першим нетривіальним вузлом і єдиним вузлом з числом перетинів 3. Він є простим і позначається номером 3₁ у нотації Александера — Бріггса. Шаблон:Нп для трилисника — 4 6 2, а нотація Конвея трилисника — [3].

Трилисник нетривіальний, тобто його неможливо «розв'язати» в тривимірному просторі без розрізання. З математичної точки зору це означає, що трилисник не ізотопний тривіальному вузлу. Зокрема, не існує послідовності рухів Рейдемейстера, за допомогою яких вузол розв'язується.

Вісімка, чотириразовий вузол або вузол Лістинга, вузол $4_1$ ― один з найпростіших нетривіальних вузлів. Вісімка позначається символом $4_1$. Вперше розглянутий Лістингом, учнем Гаусса, в 1847 році.

Трилисник хіральний в тому сенсі, що трилисник відрізняється від свого дзеркального відображення. Два варіанти трилисника відомі як лівобічний і правобічний. Неможливо шляхом деформації лівобічний варіант безперервним чином перевести у правобічний або навпаки. Тобто, ці два трилисники не ізотопні.

Також, можна показати, що трилисник (як правий, так і лівий) неізотопний вісімці.

П'ятилисник, відомий також як вузол $5_1$ у позначеннях Александера та Бріггса, вузол «перстач» і печатка Соломона, — це вузол, для якого число перетинів (мінімальне можливе число самоперетинів на діаграмі — плоскому малюнку — вузла) дорівнює п'яти.

Для багатокомпонентних вузлів у верхньому індексі зазначається кількість компонентів: наприклад, зачеплення двох кілець має символьний запис $2_1^2$.

Це були приклади поліноміальних вузлів. Неполіноміальним вузлом є дикий вузол

Приклад дикого вузла.

Дикий вузол — вузол $L$ в евклідовому просторі $E^3$ такий, що не існує гомеоморфізму $E^3$ на себе, при якому $L$ переходить в замкнуту ламану, що складається зі скінченного числа відрізків.

Вузли та зачеплення

Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми $\mu$ примірників кола в ${ℝ}^3$ або $S^3$ називається зачепленням кратності $\mu$.

Вузли, що входять до даного зачеплення, називають його компонентами.

Інваріанти вузлів

Шаблон:Докладніше В теорії вузлів число перетинів вузла — це найменше число перетинів на будь-якій діаграмі вузла. Число перетинів є інваріантом вузла.

Наприклад, тривіальний вузол має нульове число перетинів, число перетинів трилисника дорівнює трьом, а число перетинів вісімки дорівнює чотирьом.

Іншими числовими інваріантами вузла є число мостів, коефіцієнт зачеплення, число відрізків і число розв'язування.

Доповнення вузла

Шаблон:Докладніше Файл:6₂ knot.webm Шаблон:Нп стверджує, що доповнення вузла (як топологічного простору) є «повним інваріантом» вузла, в тому сенсі, що воно відрізняє заданий вузол від всіх інших з точністю до Шаблон:Нп та дзеркального відображення. Серед інваріантів, пов'язаних з доповненням вузла, є група вузла, яка є просто фундаментальною групою його доповнення.

Див. також

• Зачеплення (теорія вузлів)
• Простий вузол (теорія вузлів)

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру.
• Шаблон:Книга-ру.
• Шаблон:Книга-ру.
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика Шаблон:Webarchive // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Шаблон:Книга-ру.
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» Шаблон:Webarchive // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry Шаблон:Webarchive.Шаблон:Ref-en
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.Шаблон:Ref-en
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures.Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld