Кільце Зариського

У комутативній алгебрі кільцем Зариського називається топологічне кільце для якого базою околів нуля є степені деякого ідеалу, що задовольняє певні умови. Поняття такого кільця вперше ввів Оскар Зариський, назву кільця Зариського вперше ввів П'єр Самуель.

Означення

Кільце Нетер R називається кільцем Зариського щодо ідеалу R в R, якщо R є топологічним кільцем для якого степені ідеалу Iⁿ утворюють базу околів нуля і I є підмножиною радикалу Джекобсона кільця R.

Якщо R є кільцем Зариського щодо ідеалу I то воно є кільцем Зариського щодо будь-якого ідеалу, який має той же радикал, що і I.

Топологія кільця Зариського завжди є гаусдорфовою.

Приклади

• Нетерове локальне кільце щодо свого максимального ідеалу.
• Нетерове кільце R, що має лише скінченну кількість максимальних ідеалів $𝔪$, щодо їх перетину. Таке кільце називається напівлокальним.
• Нетерове кільце R, що є повним гаусдорфовим простором у своїй I-топології. Дійсно, будь-який елемент $1-m(m\in I)$ множини $1+I$ є оборотним, оскільки елемент $1+m+m^2+\dots +m^n+\dots$ є для нього оберненим. Зокрема, якщо R — кільце нетер і I — ідеал в R, такий, що R є гаусдорфовим простором у своїй I-топології, то його поповнення $\hat{R}$ є кільцем Зариського, оскільки воно теж є нетеровим.
• Фактор-кільце R/J кільця Зариського є кільцем Зариського щодо ідеалу (I + J)/J.

Властивості

Нехай R — топологічне нетерове кільце, топологія якого породжена ідеалом I. Тоді еквівалентними є такі твердження, які можна використати в означенні кільця Зариського:

• Ідеал I міститься в радикалі Джекобсона (перетині всіх максимальних ідеалів) кільця R.
• Для будь-якого скінченнопородженого R-модуля E і його підмодуля F, підмодуль F є замкнутим щодо I-топології в E, тобто $F=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(F+I^{n}E).$
• Кільце R є гаусдорфовим простором в своїй топології, і для кожного скінченнопородженого R-модуля E і його підмодуля F виконується рівність $F=\hat{A}F\cap E.$
• Кожен скінченнопороджений R-модуль E (зокрема, саме кільце R) є гаусдорфовим простором у своїй топології.
• Кожен ідеал в R є замкнутою множиною у топології кільця R.
• Кожен елемент із множини 1 + I є оборотним в R.
• Для будь-якого скінченнопородженого R-модуля E із рівності IE = E випливає E = 0.

Окрім того для кілець Зариського виконуються такі властивості

• Нехай R — кільце Зариського щодо ідеалу I. Для того щоб кільце R було напівлокальним необхідно і достатньо, щоб фактор-кільце R/I було кільцем Артіна. Для того щоб кільце R було локальним необхідно і достатньо щоб додатково у кільці R/I був єдиний простий ідеал.
• Нехай R — кільце Зариського щодо ідеалу I. Якщо f — лінійне відображення деякого R-модуля E в R-модуль F, то f є рівномірно неперервним щодо I-топологій, тому що $f(I^{n}E)\subset I^{n}F.$ Тому, f можна єдиним способом продовжити до неперервного відображення $\hat{f}$ між поповненнями $\hat{E}$ і $\hat{F}$. Відображення $\hat{f}$ є $\hat{R}$-лінійним.
• Нехай R — кільце Зариського і $E\stackrel{f}{\to }F\stackrel{g}{\to }G$ — точна послідовність скінченнопороджених R-модулів і R-лінійних відображень. Тоді послідовність $\hat{E}\stackrel{\hat{f}}{\to }F\stackrel{\hat{g}}{\to }G$ є точною.

Див. також

• Поповнення (комутативна алгебра)

Література

• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Шаблон:Бурбаки.Коммутативная алгебра
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том2
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation