Теорема Гаусса — Люка

Шаблон:Не плутати Теорема Гаусса — Люка описує геометричну залежність між коренями многочлена p(z) і коренями його похідної на комплексній площині $ℂ.$Теорема стверджує, що корені похідної многочлена лежать в опуклій оболонці коренів самого многочлена. Оскільки ненульовий многочлен має скінченну кількість коренів, то опукла оболонка цих коренів є найменшим опуклим многокутником на комплексній площині, що містить ці корені.

Деякою мірою це твердження є аналогом теореми Ролля для функцій однієї дійсної змінної, яка стверджує, що між двома нулями диференційовної функції знаходиться нуль її похідної.

Твердження

Якщо $p(z)$є многочленом із комплексними коефіцієнтами і не є рівним константі, то всі корені многочлена $p^{\prime }(z)$ належать опуклій оболонці коренів многочлена $P(z)$.

Доведення

Згідно основної теореми алгебри можна записати

$p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_n)$,

де $z_k$ є коренями многочлена (які можуть повторюватися), $a_n\ne 0$ — коефіцієнт біля $z^n$. Для такого запису многочлена похідну можна обчислити як:

$p^{\prime }(z)=a_n((z-z_2)\dots (z-z_n)+(z-z_1)(z-z_3)\dots (z-z_n)+\dots +(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_{n-1}))$.

Поділивши $p^{\prime }(z)$ на $p(z)$ одержується рівність

$\frac{p^{\prime }(z)}{p(z)}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{z-z_k}$.

Нехай $w\in ℂ$ позначає довільний корінь похідної: $p^{\prime }(w)=0$. Якщо $w\in \{z_1,\dots ,z_n\}$, то він очевидно належить опуклій оболонці цих чисел. Якщо $w\notin \{z_1,\dots ,z_n\}$, то з попередньої рівності:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{w-z_k}=0$.

Використавши елементарну рівність $z^{-1}=\bar{z}/|z{|}^2$ одержуємо.

$\sum _{k=1}^n\frac{\bar{w}-\overline{z_k}}{|w-z_k{|}^2}=0$

або після комплексного спряження

$\sum _{k=1}^n\frac{w-z_k}{|w-z_k{|}^2}=0.$

Попередню рівність можна переписати як:

$\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{|w-z_k{|}^2}\right)w=\sum _{k=1}^n\frac{1}{|w-z_k{|}^2}{z}_k.$

Якщо позначити

$t_k=\left(\frac{1}{|w-z_k{|}^2}\right)/\left(\sum _{j=1}^n\frac{1}{|w-z_j{|}^2}\right)$

то, очевидно, $t_1,\dots t_n\in [0,1],\sum _{k=1}^n{t}_k=1$, тобто

$w=\sum _{k=1}^n{t}_k{z}_k$,

Отже, $w$ є опуклою комбінацією $z_1,\dots ,z_n,$ що завершує доведення.

Література

• Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), с. 224—226
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book