Теорема про замкнуті підгрупи

Теорема про замкнуті підгрупи — твердження у теорії груп Лі про те, що кожна замкнута підгрупа групи Лі є вкладеною підгрупою Лі (тобто вона успадковує свою топологічну і диференційовну структуру із основної групи). У твердженні теореми вимагається лише щоб підгрупа була також замкнутою множиною і на основі лише цього факту доводиться, що дана група також є вкладеним підмноговидом і відповідно вкладеною підгрупою Лі.

Оскільки підгрупа Лі є вкладеною тоді і тільки тоді коли вона є замкнутою то звідси одержується, що (абстрактна) підгрупа є вкладеною підгрупою Лі тоді і тільки тоді коли вона є замкненою підмножиною.

Значення теореми полягає в тому, що вона дає змогу знайти багато прикладів груп Лі і для доведення їх приналежності до цих груп достатньо довести їх замкнутість у деяких підгрупах Лі, що часто є відносно просто. Наприклад спеціальні лінійні групи чи ортогональні групи є замкнутими підгрупами загальних лінійних груп.

Доведення

Нехай G — група Лі, $𝔤$ — її алгебра Лі, H — замкнута підгрупа у G. Для доведення потрібна лема щодо властивостей експоненціального відображення.

Лема: Нехай $X,Y\in 𝔤.$ Тоді:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\log (\exp (n^{-1}X)\exp (n^{-1}Y))=X+Y.$

Експоненційне і логарифмічне відображення є локальними дифеоморфізмами в $0\in 𝔤$ і $e\in G$ відповідно. Їх диференціали у цих точках є одиничними відображеннями (при стандартній ідентифікації простору $𝔤$ і його дотичного простору в нулі).

Відображення $\psi :𝔤\times 𝔤\to G,(X,Y)\to \exp X\exp Y$ має диференціал у точці (0,0) рівний $T_{(0,0)}\psi (X,Y)=X+Y.$ Відображення $\log \circ \psi$ є визначеним у деякому околі точки (0,0) і його диференціал у цій точці задається як $(X,Y)\to X+Y.$ Відповідно для (X,Y) достатньо близьких до (0,0):

$\log (\exp (X)\exp (Y))=X+Y+\rho (X,Y),$

де $\rho (X,Y)=o(|X|+|Y|)$ при $(X,Y)\to (0,0)$ (вибір норми у цьому випадку може бути довільним). Звідси:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\log (\exp (n^{-1}X)\exp (n^{-1}Y))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(n^{-1}X+n^{-1}Y+o(n^{-1}))=X+Y.$

Розглянемо тепер множину T елементами якої є вектори $X\in 𝔤$ для яких існують послідовності $X_n\in 𝔤,a_n\in ℝ,$ такі що $\exp X_n\in H,\lim X_n=0,\lim a_n{X}_n=X.$ Очевидно, що $0\in T$ і з $X\in T$ випливає $ℝX\subset T.$

Тоді $\exp X\in H,\mathrm{\forall }X\in T.$ Справді, якщо $X\ne 0,$ то в позначеннях вище $|a_n|\to \mathrm{\infty }.$ Нехай $m_n\in \mathbb{Z}$ — такі числа, що $a_n\in [m_n,m_n+1].$ Тоді $|m_n|\to \mathrm{\infty }$ і $a_n/m_n\to 1.$ Звідси $m_n{X}_n\to X$ і $\exp X=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\exp (X_n){)}^{m_n}\in \overline{H}=H.$

Також T є лінійним підпростором $𝔤.$ Дійсно нехай $X,Y\in T.$ Позначимо $X_n=X/n,Y_n=Y/n$ і, для достатньо великих n, $Z_n=\log (\exp X_n\exp Y_n).$ Тоді $\exp Z_n=\exp X_n\exp Y_n\in H,$ а також $Z_n\to 0$ і (використовуючи доведену лему) $n{Z}_n\to X+Y,$ звідки $X+Y\in T.$

Нехай $𝔤=S\oplus T$ і $\varphi :(X,Y)\to \exp X\exp Y$ — гладке відображення із $S\times T\to G$ із диференціалом у точці (0,0) рівним $T_{(0,0)}\varphi (\xi ,\theta )=\xi +\theta .$ Даний диференціал є бієкцією, а отже $\varphi$ є локальним дифеоморфізмом у точці (0,0). Тому існують відкриті околи початку координат ${\mathrm{\Omega }}_T\subset T,{\mathrm{\Omega }}_S\subset S$ при яких $\varphi$ є дифеоморфізмом ${\mathrm{\Omega }}_S\times {\mathrm{\Omega }}_T$ на відкриту підмножину $e\in U\subset G.$ Якщо для достатньо малих ${\mathrm{\Omega }}_T,{\mathrm{\Omega }}_S$ при цьому $\varphi (0\times {\mathrm{\Omega }}_T)=U\cap H$ то це задасть диференційовну структуру в околі одиниці підгрупи H, а тому і на всій групі і H буде вкладеною підгрупою Лі.

Припустимо, що вказане твердження не є вірним. Нехай ${\mathrm{\Omega }}_T^k,{\mathrm{\Omega }}_S^k$ спадні послідовності околів для яких ${\mathrm{\Omega }}_S^k\times {\mathrm{\Omega }}_T^k\to 0.$ Згідно припущення для всіх $k$ існує елемент $h_k\in \varphi ({\mathrm{\Omega }}_S^k\times {\mathrm{\Omega }}_T^k)\cap H,$ такий що $h_k\in ̸\varphi (0\times {\mathrm{\Omega }}_T^k).$

Існують єдині $0\ne X_k\in {\mathrm{\Omega }}_S^k,Y_k\in {\mathrm{\Omega }}_T^k,$ що $h_k=\varphi (X_k,Y_k)=\exp X_k\exp Y_k.$ Тому $X_k$ є послідовністю у $S\setminus \{0\},$ що збігається до нуля і $\exp X_k=h_k\exp (-Y_k)\in H.$ Ввівши довільну норму на S і розглянувши послідовність $X_k/|X_k|$ (елементи якої належать компактній одиничній сфері) можна обрати підпослідовність збіжну до деякого елемента X простору S одиничної норми. Без втрати загальності можна вважати $X_k/|X_k|$ такою послідовністю. Але $X_k\in S\subset 𝔤$ і $|X_k|\in ℝ$ задовольняють всі умови означення множини T, тому $X\in T.$ Це неможливо оскільки $S\cap T=0.$ Тому для деякого k $\varphi ({\mathrm{\Omega }}_S^k\times {\mathrm{\Omega }}_T^k)\cap H=\varphi (0\times {\mathrm{\Omega }}_T^k),$ що завершує доведення.

Див. також

• Група Лі
• Диференційовний многовид
• Експонента (теорія груп Лі)

Посилання

• E.P. van den Ban Lecture Notes on Lie groups Шаблон:Webarchive