Абстрактний симпліційний комплекс

Геометричне представлення абстрактного симпліційного комплексу, що не є симпліційним комплексом.

В математиці, абстрактним симпліційним комплексом називається комбінаторний об'єкт, що є абстрактним узагальненням геометричного поняття симпліційний комплекс.

Абстрактний симплекс можна досліджувати алгебричними методами за допомогою кілець Стенлі — Райснера, що визначає важливі зв'язки між комбінаторикою і комутативною алгеброю.

Означення

Сім'я Шаблон:Math непустих скінченних підмножин множини S називається абстрактним симпліційним комплексом якщо для кожної множини Шаблон:Mvar у Шаблон:Math, і кожної непустої підмножини Шаблон:Math, Шаблон:Mvar також належить Шаблон:Math.

Скінченні множини, що належать Шаблон:Math називаються (абстрактними) симплексами комплекса. Симплекс Шаблон:Mvar називається гранню симплекса Шаблон:Mvar якщо Шаблон:Math. Множиною вершин Шаблон:Math називається множина Шаблон:Math, що є об'єднанням усіх симплексів Шаблон:Math. Елементи множини вершин називаються вершинами комплексу. Для кожної вершини v у Шаблон:Math, множина {v} є симплексом комплексу, і кожен симплекс комплексу є скінченною підмножиною множини вершин.

Симплекси, що не є гранями інших симплексів називаються максимальними симплексами комплексу. Розмірність симплекса Шаблон:Mvar у Шаблон:Math за означенням є рівною Шаблон:Math: симплекси, що мають один елемент мають розмірність 0, симплекси з двох елементів мають розмірність 1 і т. д. Розмірністю комплексу Шаблон:Math називається найбільша розмірність його симплексів або нескінченність, якщо існують симплекси як завгодно великих розмірностей.

Комплекс Шаблон:Math називається скінченним якщо у ньому є скінченна кількість симплексів або еквівалентно, якщо його множина вершин є скінченною. Комплекс Шаблон:Math називається локально скінченним, якщо кожна його вершина належить лише скінченній кількості симплексів.

Одновимірні абстрактні симпліційні комплекси є математично еквівалентними простим неорієнтованим графам: множина вершин комплексу може розглядатися як множина вершин графу, а множина одновимірних (тобто двоелементних) симплексів як множина його ребер.

Підкомплексом комплексу Шаблон:Math називається абстрактний симпліційний комплекс L такий що кожен симплекс L належить також Шаблон:Math, тобто Шаблон:Math.

d-кістяк комплексу Шаблон:Math це підкомплекс Шаблон:Math, що складається з усіх симплексів Шаблон:Math розмірність яких не перевищує d. 0-кістяк Шаблон:Math можна ідентифікувати з його множиною вершин, хоча формально вони не є еквівалентними (множина вершин є єдиною множиною всіх вершин, тоді як 0-кістяк є сім'єю одноелементних множин).

Лінком симплекса Шаблон:Mvar у Шаблон:Math (позначається Шаблон:Math або Шаблон:Math) називається підкомплекс Шаблон:Math заданий як

$\mathrm{\Delta }/Y:=\{X\in \mathrm{\Delta }\mid X\cap Y=\varnothing ,X\cup Y\in \mathrm{\Delta }\}.$

Лінком пустої множини є комплекс Шаблон:Math.

Для будь-якого абстрактного симпліційного комплексу Шаблон:Math існує комплекс Bd Шаблон:Math, вершинами якого є симплекси комплексу Шаблон:Math, а симплексами — сім'ї $(s_0,...,s_q)$симплексів з Шаблон:Math, для яких $(s_0,...,s_q)$. Комплекс Bd Шаблон:Math називається барицентричним розбиттям комплексу Шаблон:Math.

Для двох абстрактних симпліційних комплексів, Шаблон:Math і Шаблон:Math, симпліційним відображенням називається відображення Шаблон:Math для якого образами вершин Шаблон:Math є вершини Шаблон:Math і для кожного симплекса Шаблон:Mvar у Шаблон:Math, образом множини Шаблон:Math є симплекс у Шаблон:Math. Існує категорія SCpx об'єктами якої є абстрактні симпліційні комплекс, а морфізмами симпліційні відображення. Вона є еквівалентною до деякої категорії визначеної для неабстрактних симпліційних комплексів.

Геометричне представлення

Кожному абстрактному симпліційному комплексу K можна поставити у відповідність топологічний простір |K|, що називається його геометричним представленням. Два таких представлення є ізоморфними. Топологічний простір X, що є гомеоморфним геометричному представленню |K| деякого комплексу K називається поліедром, а пара (К, f), де f — гомеоморфізм, називається триангуляцією простору.

Геометричне представлення комплексу K із множиною вершин S можна побудувати у такий спосіб. Нехай |K| підмножина Шаблон:Math, що складається з усіх функцій Шаблон:Math які задовольняють дві умови:

$\sum _{s\in S}{t}_s=1$

$\{s\in S:t_s>0\}\in K.$

Число $t_s$ називається s барицентричною координатою точки t. Розглянемо Шаблон:Math як індуктивну границю Шаблон:Math де A пробігає всі скінченні підмножини S і надамо Шаблон:Math відповідну фінальну топологію, а |K| — породжену топологію. Отриманий топологічний простір буде геометричною реалізацією комплексу |K|.

На просторі |K| можна ввести альтернативну в загальному випадку сильнішу топологію породженою метрикою $d(t,u)=\sqrt{\sum _{s\in S}(t_s-u_s{)}^2}$. Множина |K| з цією топологією позначається |K|_d.

Можна задати геометричне представлення і в інших спосіб. Нехай $𝒦$ — категорія об'єктами якої є симплекси Шаблон:Mvar, а морфізмами включення. Задамо тотальне впорядкування на множині вершин Шаблон:Mvar і введемо функтор F з $𝒦$ у категорію топологічних просторів. Для цього для кожного симплекса Шаблон:Math розмірності n, нехай Шаблон:Math буде стандартним n-симплексом. Порядок на множині вершин визначає бієкцію між елементами Шаблон:Mvar і вершинами Шаблон:Math, впорядкованими у звичний спосіб Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math є симплексом розмірності Шаблон:Math, то бієкція визначає m-вимірну грань у Шаблон:Math. Нехай Шаблон:Math є єдиним афінним вкладенням Шаблон:Math у визначену вище грань симплекса Шаблон:Math при якому зберігається порядок вершин.

Тоді можна ввести геометричне представлення |K| як категорну кограницю функтора F. А саме |K| є фактор-простором диз'юнктного об'єднання

$\coprod _{X\in K}F(X)$

по відношенню еквівалентності, що ідентифікує точку Шаблон:Math з її образом при відображенні Шаблон:Math, для кожного вкладення Шаблон:Math.

Багато комбінаторних властивостей абстрактного симпліційного комплексу можна виразити через топологічні властивості геометричного представлення комплексу. Зокрема еквівалентними є такі твердження:

• Абстрактний симпліційний комплекс K є локально скінченним.
• Топологічний простір |K| є локально компактним.
• |K| = |K|_d як топологічні простори.
• Простір |K| є метризовним.
• Простір |K| задовольняє першій аксіомі зліченності.

Простір |K| є сепарабельним (компактним) тоді і тільки тоді, коли K є не більш ніж зліченним (скінченним).

Представлення скінченних комплексів в евклідових просторах

Особливо важливе значення має геометричне представлення для скінченних комплексів. У цьому випадку можливе представлення абстрактного симпліційного комплексу у виді звичайного симпліційного комплексу у евклідовому просторі. А саме, n-вимірний комплекс Шаблон:Math має представлення як симпліційний комплекс у просторі ${ℝ}^{2n+1}$.

Представлення можна задати у такий спосіб. Нехай множина вершин Шаблон:Math має m елементів. Позначимо ці вершини $(a_1,\dots ,a_m)$. Виберемо m+1 точку у ${ℝ}^{2n+1}$ так щоб жодні 2n+2 з них не були лінійно залежними. Наприклад, можна вибрати точки виду $A^i=(i,i^2,i^3,\dots ,i^{2n+1}),0⩽i⩽m.$Рівняння $\sum _{k=1}^{2n+2}{\lambda }_k{A}^{i_k}=0$ разом з $\sum _{k=1}^{2n+2}=0$

утворюють матрицю Вандермонда визначник якої не є рівним нулю. Отже, рівняння має лише нульовий розв'язок і довільні 2n+2 точки є лінійно незалежними.

Нехай тепер точки $A^i$ в ${ℝ}^{2n+1}$ відповідають точкам $a_i$абстрактного комплексу. Відповідно кожному абстрактному симплексу у Шаблон:Math відповідає симплекс у ${ℝ}^{2n+1}$.

Множина таких симплексів у ${ℝ}^{2n+1}$утворює симпліційний комплекс K, який і є геометричним представленням Шаблон:Math. З означення Шаблон:Math відразу випливає, що будь-яка грань симплекса із K є симплексом у K. Із лінійної незалежності точок $A^i$ випливає що симплекси у K можуть перетинатися лише на своїх границях. Нехай тепер $\sigma ,\tau$— два симплекси у K, що мають розмірності p і q відповідно і r спільних вершин. Тоді загальна кількість точок у якомусь із цих симплексів є рівною $p+q-r+2⩽2n+2$.

Отже всі точки є лінійно незалежними і на них можна побудувати симплекс розмірності $p+q-r+1$для якого $\sigma ,\tau$будуть гранями. Тому їх перетин є або гранню їх обох або порожньою множиною. Отож K дійсно є стандартним симпліційним комплексом у ${ℝ}^{2n+1}$.

Будь-які два геометричні представлення абстрактного симпліційного комплекса є симпліційно гомеоморфними.

Простір ${ℝ}^{2n+1}$ має найменшу розмірність для геометричного представлення усіх абстрактних симпліційних комплексів розмірності n. Для простору ${ℝ}^{2n}$ завжди існує абстрактний симпліційний комплекс розмірності n для якого не існує геометричного представлення у ${ℝ}^{2n}$. Наприклад, для n = 1 абстрактний комплекс із п'ятьма вершинами для якого кожна для якого кожна підмножина із двох вершин є симплексом не має геометричного представлення у ${ℝ}^2$. Це відбувається тому, що такий же комплекс із чотирма вершинами можна представити лише у виді коли три точки утворюють трикутник, а четверта у його середині (не на сторонах). Тоді п'ята точка мала би бути у середині трьох утворених менших трикутників, що неможливо. Більш загально для довільного n-кістяка абстрактного симплекса розмірності 2n + 2 (симплекса із 2n + 3 вершинами) не існує геоментричного представлення у просторі ${ℝ}^{2n}$.

В загальному випадку абстрактний симпліційний комплекс має геометричне представлення у скінченновимірному просторі ${ℝ}^n$ тоді і лише тоді коли він є локально скінченним, не більш ніж зліченним і скінченновимірним.

Кількості абстрактних симпліційних комплексів

Кількість скінченних абстрактних симпліційних комплексів із множиною вершин не більше n елементів є на одиницю меншим ніж n-не число Дедекінка. Ці числа зростають дуже швидко і наразі їх значення відомі лише для Шаблон:Math; вони є рівними (починаючи з n = 0):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 Шаблон:OEIS. Ці кількості рівні кількостям непустих антиланцюгів для множин із Шаблон:Math елементів.

Кількість абстрактним симпліційних комплексів із множиною вершин к n елементів є рівною "1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966" Шаблон:OEIS, починаючи з n = 1.

Див. також

• Симпліційний комплекс
• Абстрактний многогранник

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation