Принцип збереження області

Принцип збереження області — важливе твердження у комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій.

Згідно з цією теоремою, якщо функція $f$ є голоморфною в області (зв'язаній відкритій підмножині) $D$ і не є константою, то і образ $D^{*}=f(D)$ також є областю. Зокрема голоморфна функція на області є відкритим відображенням.

Принцип збереження області встановлює значну відмінність між голоморфністю і дійсною диференційовністю. На дійсній прямій, наприклад, диференційовна функція f(x) = x² не є відкритим відображенням оскільки образом відкритої множини (−1, 1) є множина [0, 1), що не є відкритою. Іншим прикладом є функція комплексної змінної $z\to z\overline{z}$, що є $ℝ$-диференційовною нескінченну кількість разів. Вона не є відкритим відображенням оскільки образом $ℂ$ є підмножина дійсних чисел $[0,\mathrm{\infty })$, що не є відкритою.

Доведення

Потрібно довести, що множина $D^{*}$ є зв'язною і відкритою. Нехай $w_1$ і $w_2$ — дві довільні точки $D^{*}$ і $z_1,z_2$ — деякі прообрази $w_1$ і $w_2$ в $D$. Так як множина $D$ є лінійно зв'язною, то існує крива $\gamma :[0,1]\to D$, що з'єднує точки $z_1$ і $z_2$. Оскільки $f$ є неперервною функцією образ ${\gamma }^{*}=f\circ \gamma$ буде неперервною кривою, що з'єднує точки $w_1$ і $w_2$. Всі точки цієї кривої, очевидно належать $D^{*}$. Таким чином, множина $D^{*}$ є зв'язною.

Нехай $w_0$ — довільна точка $D^{*}$ і $z_0$ — один із її прообразів в $D$. Так як $D$ є відкритою множиною, то існує круг $\{|z-z_0|<r\}\subset D$. Зменшуючи в разі потреби $r$, можна вважати, що $\{|z-z_0|⩽r\}\subset D$ не містить інших прообразів $w_0$, крім $z_0$ (оскільки $f$ не є константою, то прообрази $w_0$ є ізольованими точками в $D$). Позначимо через $\gamma =\{|z-z_0|=r\}$ коло, що обмежує круг і $\mu =\underset{z\in \gamma }{\min }|f(z)-w_0|$.

Очевидно, $\mu >0$, бо неперервна функція $|f(z)-w_0|$ досягає на $\gamma$ свого мінімального значення, і якби було $\mu =0$, то на колі $\gamma$ існував би прообраз точки $w_0$ всупереч побудови кола.

Доведемо, що круг $\{|w-w_0|<\mu \}\subset D^{*}$. Нехай $w_1$ — довільна точка цього круга, тобто $|w_1-w_0|<\mu$. Тоді $f(z)-w_1=f(z)-w_0+(w_0-w_1)$, до того ж на $\gamma$ виконується нерівність $|f(z)-w_0|⩾\mu$. Оскільки $|w_1-w_0|<\mu$ то згідно теореми Руше функція $f(z)-w_1$ має всередині круга обмеженого $\gamma$ стільки ж нулів, скільки їх має там функція $f(z)-w_0$ тобто принаймні один нуль. Отже, функція $f$ всередині круга обмеженого $\gamma$ приймає значення $w_1$ тобто $w_1\in D^{*}$. Оскільки $w_1$ — довільна точка круга $\{|w-w_0|<\mu \}$, то весь цей круг належить $D^{*}$ і тому множина $D^{*}$ є відкритою.

Функції багатьох змінних

Теорема легко узагальнюється на випадок голоморфних функцій багатьох комплексних змінних. У цьому випадку голоморфна функція на області (зв'язаній відкритій підмножині) $D$, що не є константою теж є відкритим відображенням.

Доведення легко зводиться до випадку однієї змінної. Нехай $w=f(z)$ де $w\in ℂ,z\in D\subset {ℂ}^n$. Оскільки $D$ є відкритою підмножиною, то існує відкрита куля деякого радіуса $r$, така що $B(z,r)\subset D$. Оскільки функція не є константою то існує точка $z_1\in D$, така що $f(z)\ne f(z_1)$. Тоді функція $g(t):=f((1-t)z+t{z}_1)$ є голоморфною функцією однієї змінної, що не є константою і її обмеження на області є відкритими відображеннями. Зокрема образом точок, що належать перетину кулі $B(z,r)$ із точками вказаної прямої є відкрита множина,що є підмножиною $f(D)$. Оскільки точки $z,w$ були вибрані довільно це завершує доведення теореми.

Узагальнення

Принцип збереження області також є справедливим для голоморфних функцій на довільному комплексному многовиді: множина значень голоморфної функції на зв'язаному комплексному многовиді є областю на комплексній площині.

Принцип збереження області також виконується для голоморфних відображень комплексних многовидів у ріманові поверхні. Натомість голоморфні відображення у комплексні многовиди $Y$ розмірності більше 1 в загальному не є відкритими: якщо $f$ не є константою, але, скажімо, ранг $f$ (тобто ранг матриці Якобі відображення у даній точці) є всюди меншим $\dim Y$, то образ відображення взагалі не має внутрішніх точок.

Відкритість може порушуватися і в разі, коли $\mathrm{rank}f<\dim Y$ на множинах малої розмірності. Наприклад, при відображенні простору ${ℂ}^2$ в себе заданому як $F(z_1,z_2)=(z_1,z_1{z}_2)$ образом відображення буде невідкрита множина ${ℂ}^2\setminus \{z_1=0,z_2\ne 0\}$.

Для виконання принципу збереження області для голоморфних відображень, умову, що $f$ не є константою слід замінити більш сильними вимогами, наприклад умовою, що розмірність точок в яких $\mathrm{rank}f<\dim Y$ є рівною нулю.

Див. також

• Теорема Руше

Література

• Шаблон:Citation
• Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983 ISBN 978-3110041507
• Шаблон:Citation.