Гострий та тупий трикутники

Гострий трикутник — це трикутник з усіма гострими кутами (менше 90 °). Тупий трикутник — це трикутник з одним тупим кутом (більше 90 °) і двома гострими. Оскільки сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180 °, трикутник не може мати більше одного тупого кута. Гострокутні та тупокутні трикутники — це два різних типи похилих трикутників — трикутників, які не є прямокутними, оскільки вони не мають кута у 90 °.

Прямий	Тупий	Гострий
	$\underset{}{\underbrace{}}$
	Похилі

Властивості

У всіх трикутниках центроїд — це перетин медіан, кожна з яких з'єднує вершину з середньою точкою протилежної сторони, а центр вписаного кола — це центр кола, який внутрішньо дотичний до всіх трьох сторін і знаходиться всередині трикутника. Проте, якщо ортоцентр та центр описаного кола розташовані всередині гострого трикутника, вони є зовнішніми для тупого трикутника.

Ортоцентр — точка перетину трьох висот трикутника, кожна з яких перпендикулярно з'єднує сторону з протилежною вершиною. У випадку з гострим трикутником, всі три з цих сегментів лежать цілком у трикутнику, і тому вони перетинаються в його межах. Але для тупого трикутника висоти з двох гострих кутів перетинаються лише з Шаблон:Нп протилежних сторін. Ці висоти цілком виходять за межі трикутника, внаслідок чого вони перетинаються одна з одною (а отже, і з розширеною висотою від куточної вершини), що виникають у зовнішньому трикутнику.

Аналогічно, центр описаного кола — це перетин трьох паралельних бісектрис, який є центром кола, який проходить через всі три вершини і знаходиться всередині гострого трикутника, але поза межами тупого. Прямокутний трикутник є особливим випадком: центр описаного кола і ортоцентр лежать на його межі. У будь-якому трикутнику будь-які два вимірювані кути A і B, протилежні сторонам a та b, відповідно, пов'язані таким чиномШаблон:Rp

$A>B\text{тоді й лише тоді, коли}a>b.$

З цього випливає, що найдовша сторона в тупому трикутнику є протилежною вершині тупого кута.

Гострий трикутник має три вписані квадрати, кожен з яких з одного боку збігається з частиною сторони трикутника та з іншими двома вершинами квадрата на інших двох сторонах трикутника. (У правильному трикутнику два з них зливаються у ту ж площу, тому є лише два окремі квадрати, нанесені на вигляд). Однак у тупого трикутника є лише один вписаний квадрат, одна з його сторін збігається з частиною найдовшої сторони трикутника.Шаблон:Rp

Всі трикутники, у яких лінія Ейлера є паралельною до однієї сторони, є гострими. Ця властивість зберігається для сторони BC, тоді й лише тоді, коли $(\tan B)(\tan C)=3.$

Нерівності

Див. також: Перелік нерівностей трикутників

Сторони

Якщо кут С тупий, то для сторін a, b та c ми маємо:Шаблон:Rp

$\frac{c^2}{2}<a^2+b^2<c^2,$

що ліва нерівність наближається до рівності, лише коли кут нахилу рівномірного трикутника наближається до 180 °, а права нерівність наближається до рівності, тільки коли тупий кут наближається до 90 °.

Якщо трикутник гострий, то

$a^2+b^2>c^2,b^2+c^2>a^2,c^2+a^2>b^2.$

Висота

Якщо C є найбільшим кутом, а h _c  — висота від вершини C, тоді для гострого трикутникаШаблон:Rp

$\frac{1}{h_c^2}<\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2},$

із протилежною нерівністю, якщо C — тупий.

Медіана

З найдовшою стороною c і медіанами m_a і m_b з інших сторін Шаблон:Rp

$4c^2+9a^2{b}^2>16m_a^2{m}_b^2$

для гострого трикутника, але з нерівністю, зміненої для тупого трикутника.

Медіана m_c від найдовшої сторони є більшою або меншою, ніж радіус описаного кола для гострого або тупого трикутника відповідно:Шаблон:Rp

$m_c>R$

для гострих трикутників — протилежно до тупих.

Площа

Шаблон:Нп для площі A

$27(b^2+c^2-a^2{)}^2(c^2+a^2-b^2{)}^2(a^2+b^2-c^2{)}^2\le (4A{)}^6,$

виконується для всіх гострих, але не для всіх тупих трикутників.

Тригонометричні функції

Для гострого трикутника ми маємо, для кутів A, B та CШаблон:Rp

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C<1,$

з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника. Для гострого трикутника з радіусом описаного кола RШаблон:Rp

$a{\cos }^{3}A+b{\cos }^{3}B+c{\cos }^{3}C\le \frac{abc}{4R^2}$

іШаблон:Rp

${\cos }^{3}A+{\cos }^{3}B+{\cos }^{3}C+\cos A\cos B\cos C\ge \frac{1}{2}.$

Для гострих трикутниківШаблон:Rp

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C>2,$

з зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Для гострих трикутниківШаблон:Rp

$\sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\le (\cos A+\cos B+\cos C{)}^2.$

Для будь-якого трикутника трійка дотичної ідентичності визначає, що сума тангенсів кутів дорівнює їх добутку. Оскільки гострий кут має позитивне дотичне значення, а тупий кут має негативний, вираз для знаходження добутку тангенсів показує, що

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0$

для гострих трикутників, в той час як протилежний напрям нерівності використовується для тупих трикутників.

Ми маємо:Шаблон:Rp

$\tan A+\tan B+\tan C\ge 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$

для гострих трикутників, і зворотна для тупого трикутника.

Для всіх гострих трикутниківШаблон:Rp

$(\tan A+\tan B+\tan C{)}^2\ge (\sec A+1{)}^2+(\sec B+1{)}^2+(\sec C+1{)}^2.$

Для всіх гострих трикутників, що мають центр вписаного кола r і центр описаного кола RШаблон:Rp

$a\tan A+b\tan B+c\tan C\ge 10R-2r.$

Для гострих трикутників з площею K,Шаблон:Rp

$(\sqrt{\cot A}+\sqrt{\cot B}+\sqrt{\cot C}{)}^2\le \frac{K}{r^2}.$

Радіуси описаного, вписаного і дотичного кіл

У гострому трикутнику сума радіуса описаного кола R і вписаного кола r менше половини суми найкоротших сторін a і b:Шаблон:Rp

$R+r<\frac{a+b}{2},$

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з медіанами m_a , m_b та m_c і радіусом описаного кола R, ми маємо:Шаблон:Rp

$m_a^2+m_b^2+m_c^2>6R^2$

а протилежна нерівність виконується для тупого трикутника.

Також для гострого трикутника задовольняє формула:Шаблон:Rp

$r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2<8R^2,$

у термінах радіусів дотичних кіл r_a , r_b та r_c , знову ж таки з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з півперіметром s,Шаблон:Rp

$s-r>2R,$

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з площею K,Шаблон:Rp

$ab+bc+ca\ge 2R(R+r)+\frac{8K}{\sqrt{3}}.$

Відстані між центрами трикутників

Для гострого трикутника відстань між центром описаного кола O і ортоцентром H обчислюється за формулоюШаблон:Rp

$OH<R,$

а за протилежною нерівністю обчислюється для тупого трикутника.

Для гострого трикутника відстань між центром вписаного кола I і ортоцентром H обчислюється такШаблон:Rp

$IH<r\sqrt{2},$

де r — це радіус вписаного кола, із зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Вписаний квадрат

Якщо один з вписаних квадратів гострого трикутника має довжину боків x_a, а інший — x_b, де x_a < x_b, тодіШаблон:Rp

$1\ge \frac{x_a}{x_b}\ge \frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0.94.$

Два трикутники

Якщо два тупих трикутника мають сторони (a, b, c) і (p, q, r), де c та r — найдовші сторони, тодіШаблон:Rp

$ap+bq<cr.$

Приклади

Трикутники із спеціальними назвами

Шаблон:Нп є єдиним нерівностороннім трикутником, для якого найбільша площа, яка підходить в інтер'єрі, може бути розташована будь-яким з трьох різних способів, він тупий та рівнобедрений з основними кутами 39.1320261 … ° та третьою шириною 101.7359477 .. °.

Правильний трикутник з трьома кутами 60 °, гострий.

Трикутник Морлі, утворений з будь-якого трикутника на перехрестях його сусідніх кутових триекранів, є рівнобічним і, отже, гострим.

Золотий трикутник — це рівнобедрений трикутник, у якому співвідношення дубліката сторони до основної сторони дорівнює золотому перетину співвідношенню. Він гострий з кутами 36 °, 72 ° та 72 °, що робить його єдиним трикутником з кутами пропорцій 1:2:2.

Шаблон:Нп із сторонами, що збігаються із стороною, коротшою діагоналлю і довгою діагоналлю правильного семикутника — це тупий трикутник, з кутами $\pi /7,2\pi /7$ та $4\pi /7.$

Трикутники з цілими сторонами

Єдиний трикутник з послідовними цілими числами для висоти і сторін, гострий, має сторони (13,14,15) і висоту із сторони 14 проти 12.

Трикутник з найменшим периметром і з цілими сторонами в арифметичній прогресії та трикутник з найменшим периметром з різними цілими сторонами, є тупим, а саме із сторонами (2, 3, 4).

Трикутники з одним кутом, який двічі більший за інший, з цілими сторонами в арифметичній прогресії, є гострими: а саме трикутник із сторонами (4,5,6) та кратні йому.

Не існує гострих цілосторонніх трикутників з площею, яка дорівнює периметру, але є три тупі трикутники, що мають сторони (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17).

Найменший трикутник з цілими сторонами і з трьома раціональними медіанами — гострий, із сторонами (68, 85, 87).

Трикутники Герона мають цілі сторони та цілі площі. Похилий трикутник Герона з найменшим периметром — гострий, із сторонами (6, 5, 5). Два трикутники Герона, які мають найменшу площу, — це гострий із сторонами (6, 5, 5) та тупий із сторонами (8, 5, 5), площа кожного з яких дорівнює 12.

Джерела

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld