Діаграма Юнга

Діаграма Юнга — у математиці є комбінаторним об'єктом, корисним у теорії представлень та Шаблон:Нп. Діаграма забезпечує зручний спосіб опису представлення групи симетричних та загальних лінійних груп та вивчення їх властивостей. Діаграми Юнга були введені Шаблон:Нп, математиком Кембриджського університету, в 1900 році. Невдовзі, у 1903 році, вони були застосовані у вивченні симетричної групи Георгом Фробеніусом. У подальшому теорію діаграм Юнга розвинули багато математиків, зокрема Шаблон:Нп, Вільям Годж, Шаблон:Нп, Джан-Карло Рота, Шаблон:Нп, Шаблон:Нп та Шаблон:Нп.

Визначення 

Примітка: ця стаття використовує англійську конвенцію для відображення "Діаграм та таблиць Юнга".

Діаграми

Діаграма Юнга форми (5, 4, 1), англійське позначення

Діаграма Юнга форми (5, 4, 1), французьке позначення

Діаграма Юнга (також називається діаграмою Феррерса, особливо, якщо вона представлена з використанням точок) - це скінчена колекція комірок, розташованих у стовпцях, що лежать у лівих-виправданих рядках, з довжинами рядків у незмінному порядку. У переліку кількості кодів у кожному рядку задано розділ Шаблон:Mvar невід'ємного цілого числа Шаблон:Mvar, загальну кількість кодів діаграми. Схоже, діаграма Юнга має форму Шаблон:Mvar, і вона містить ту ж саму інформацію, що і цей розділ. Зберігання однієї діаграми Юнга в іншій означає часткове впорядкування на множині всіх розділів, що насправді є структурою гратки, відомої як Шаблон:Нп. У кожному стовпчику вказано кількість комірок діаграми Юнга, яка дає інший розділ, сполучений або переміщений розділ λ; одержує діаграму Юнга такої форми, яка відбиває оригінальну діаграму вздовж головної діагоналі.

Існує майже загальна згода про те, що в маркуванні комірки діаграми Юнга за парними цілими числами перший індекс вибирає рядок діаграми, а другий індекс вибирає поле в рядку. Тим не менш існують дві чіткі конвенції для відображення цих діаграм: перша розміщує кожен рядок під попереднім, а друга розміщує кожен рядок у верхній частині попереднього. Оскільки перша конвенція в основному використовується англофонами, тоді як вони часто віддають перевагу французьким мовам, звичайно в цій конвенції існує, відповідно, як англійське позначення та французьке позначення; наприклад, у своїй книзі про симетричні функції, Шаблон:Нп радить читачам, які віддають перевагу Французькій конвенції, "читати цю книгу вгору вниз у дзеркалі" (Macdonald 1979, p. 2). Ця номенклатура, мабуть, почалася як жартівлива. Англійське позначення відповідає універсальному використанню матриць, тоді як французьке позначення лише наближається до конвенції декартових координат; однак, французьке позначення відрізняється від цієї конвенції, поставивши в першу чергу вертикальну координату. На малюнку праворуч показано діаграму Юнга, яка відповідає розділу (5, 4, 1) номеру 10 за допомогою англійського позначення. Кон'югативним розділом, який вимірює довжину колонки, є (3, 2, 2, 2, 1).

Довжина руки та ноги

У багатьох програмах, наприклад, при визначенні Шаблон:Нп, зручно визначити довжину руки a_λ(s) комірки s як число стовпців праворуч від s на діаграмі λ. Аналогічно, довжина ноги l_λ(s) - це кількість комірок нижче s. Ця позначка передбачає, використання англійського позначення. Наприклад, значення гака комірки s в λ є тоді це просто a_λ(s)+l_λ(s)+1.

Таблиці

Стандартна діаграма Юнга форми (5, 4, 1) 

Таблиці Юнга отримуються, заповненням комірок діаграми Юнга діаграми з символами, взятими з деякого алфавіту, який, як правило, повинен бути повністю впорядкованою множиною. Спочатку цей алфавіт був набором індексованих змінних Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar..., але зараз для зручності зазвичай використовується набір чисел. У своїй оригінальній заявці до Шаблон:Нп, таблиці Юнга мають Шаблон:Mvar різних записів, довільно призначених коміркам діаграми. Таблиця називається стандартною, якщо записи в кожному рядку та кожен стовпчик збільшуються. Число відмінних стандартних таблиць Юнга на Шаблон:Mvar записів дається Шаблон:Нп

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (послідовність A000085 в ЕПЦЧ)

В інших програмах природно, щоб однаковий номер з'явився більше одного разу (або взагалі не з'явився) у таблиці. Таблиця називається напів стандартною або стовпчико-строгою, якщо записи трішки збільшуються вздовж кожного рядка і суворо зменшують кожен стовпчик. Записуючи кількість разів, коли кожне число відображається у табличці, дається послідовність, відома як вага таблиць. Таким чином, стандарт таблиць Юнга являє собою саме напів стандартну таблицю ваги (1,1, ..., 1), яка вимагає, щоб кожне ціле число до Шаблон:Mvar з'являлося рівно один раз.

Варіації

Існує декілька варіантів цього визначення: наприклад, суворого-рядкова таблиця, яка збільшує кількість записів по рядках і збільшує колонки. Також були розглянуті таблички зі зменшувальними записами, зокрема, в Шаблон:Нп. Існують також узагальнення, такі як таблиця доміно або стрічкова таблиця, в якій декілька комірок можуть бути згруповані разом перед призначенням записів до них.

Асиметричні таблиці

Асиметрична таблиця форми (5, 4, 2, 2)/ (2, 1), англійське позначення

Асиметрична форма являє собою пару розділів (Шаблон:Mvar,Шаблон:Mvar) таких, що діаграма Юнга Шаблон:Mvar містить діаграму Юнга Шаблон:Mvar; це позначається Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar. Якщо Шаблон:Mvar = (Шаблон:Mvar₁,Шаблон:Mvar₂,...) і Шаблон:Mvar=(Шаблон:Mvar₁,Шаблон:Mvar₂,...),, то сховище діаграм означає, що Шаблон:Mvar ≤ Шаблон:Mvar для всіх Шаблон:Mvar. Діаграма асиметричної форми Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar - це теоретико-множинна різниця діаграми Юнга та діапазонів Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar: множина квадратів, що належать до діаграми Шаблон:Mvar, але не до Шаблон:Mvar. Асиметрична таблиця форми Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar отримується заповненням квадратів відповідної асиметричної діаграми; така таблиця є напів стандартом, якщо записи в кожному її рядку повільно зростають і суворо збільшуються в кожному стовпчику, і це нормально, якщо всі числа від 1 до числа квадратів асиметричної діаграми з'являються рівно один раз. У той час як карта з розділів на їх діаграму Юнга ін'єктивна, це не так з карти з асиметричною фігурою на асиметричну діаграму; отже, форма асиметричної діаграми не завжди може бути визначена тільки з набору заповнених квадратів. Незважаючи на те, що багато властивостей асиметричних таблиць залежать лише від заповнених квадратів, деякі операції, визначені на них, вимагають явного знання Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar, тому важливо, щоб асиметричні таблиці записували цю інформацію: дві різні асиметричні таблиці можуть відрізнятися лише за своєю формою, в той час як вони матимуть один і той же набір квадратів, кожен з яких заповнюється однаковими записами. Таблиці Юнга можуть бути ідентифіковані з асиметричною таблицею, в якій Шаблон:Mvar - порожній розділ (0) (унікальний розділ 0).

Будь-яка напів стандартна таблиця Шаблон:Mvar з формою Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar з позитивними цілими записами породжує послідовність розділів (або діаграми Юнга), починаючи з Шаблон:Mvar, і беручи за розділ Шаблон:Mvar, розміщується далі в послідовності, в якій діаграма отримується з Шаблон:Mvar, додавши всі поля, що містять значення value ≤ Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar; цей розділ з часом стає рівним Шаблон:Mvar. Будь-яка пара послідовних форм у такій послідовності є асиметричною формою, діаграма якої містить не більше одного коду в кожному стовпчику; такі форми називаються горизонтальними смугами. Ця послідовність розділів повністю визначає Шаблон:Mvar, і насправді можна визначити напів стандартною таблицею як такі послідовності, як це робив Макдональд (Macdonald 1979, p. 4).Це визначення включає розділи Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar у даних, що містять асиметричну таблицю.

Огляд програм

Таблиці Юнга мають численне застосування в комбінаториці, теорії представлень та алгебраїчній геометрії. Розглянуто різні способи підрахунку "Таблиць Юнга" і доведено спосіб визначення та ідентифікації для функцій Шура. Відомо багато комбінаторних алгоритмів на таблицях, в тому числі Шютценбергера та Шаблон:Нп. Ласкукс і Шютценбергер вивчали асоціативний продукт на наборі всіх напів стандартних таблиць Юнга, надавши їм структуру під назвою Шаблон:Нп (французька: le monoïde plaxique).

У теорії зображень стандартні таблиці Юнга з розміром Шаблон:Mvar описують основи нескоротних уявлень симетричної групи на Шаблон:Mvar букв. Шаблон:Нп в кінцевомірному Шаблон:Нп загальної лінійної групи Шаблон:Math параметризована набором напів стандартних таблиць Юнга фіксованої форми над алфавітом {1, 2, ..., Шаблон:Mvar}. Це має важливі наслідки для теорії інваріантів, починаючи від роботи Годжа на Шаблон:Нп грассманіану який далі досліджує Джан-Карло Рота з співавторами, включаючи Шаблон:Нп і Шаблон:Нп, а також Шаблон:Нп. Шаблон:Нп, що описує (серед інших речей) розпад тензорного добутку нескоротних уявлень Шаблон:Math на нескоротні компоненти, сформульовано в термінах певного асиметричної напівстандартної таблиці.

Застосування до алгебраїчного центру геометрії навколо Шаблон:Нп на грассманіанах та Шаблон:Нп. Деякі важливі класи гомології можуть бути представлені Шаблон:Нп та описані в термінах таблиць Юнга.

Застосування в теорії зображень

Дивіться також:Шаблон:Li

Діаграми Юнга знаходяться в тісному взаємозв'язку з Шаблон:Iw2 симетричної групи над комплексними числами. Вони забезпечують зручний спосіб визначення Шаблон:Нп, з яких побудовані Шаблон:Нп. Багато фактів про зображення можна вивести з відповідної діаграми. Нижче ми описуємо два приклади: визначення розмірності зображення та обмеження зображення. В обох випадках ми побачимо, що деякі властивості представлення можна визначити, використовуючи лише його діаграму.

Діаграми Юнга також параметризують незвідні поліноміальні зображення загальної лінійної групи Шаблон:Math (коли вони мають не більше Шаблон:Mvar непорожніх рядків) або незвідні зображення спеціальної лінійної групи Шаблон:Math (коли вони мають не більше Шаблон:Math порожніх рядків), або незвідні комплексні зображення спеціальної унітарної групи Шаблон:Math (знову ж таки, коли вони мають не більше Шаблон:Math порожніх рядків). У цих випадках центральну роль відіграє напів стандартна таблиця з записами до Шаблон:Mvar, а не стандартна таблиця; зокрема це число тих таблиць, які визначають розмір представлення.

Розмірність зображення

Довжини гаків коробок для перегородки 10 = 5 + 4 + 1

Розмір нескоротного представлення Шаблон:Math симетричної групи Шаблон:Math, що відповідає розбиттю Шаблон:Mvar з Шаблон:Mvar, дорівнює кількості різних стандартних таблиць Юнга, які можна отримати з діаграми представлення. Цей номер можна розрахувати за Шаблон:Нп.

Гачок з довжиною гачка Шаблон:Math комірки Шаблон:Mvar у діаграмі Юнга Шаблон:Math форми Шаблон:Mvar - це число комірок, що знаходяться в одному рядку справа від нього, а також ті комірки в тому ж стовпчику під ним, плюс один (для самої комірки). За формулою довжини гачка розмір нескоротного зображення - Шаблон:Math поділена на виріб довжини гачка всіх комірок у діаграмі подання:

$\dim {\pi }_{\lambda }=\frac{n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\mathrm{hook}(x)}.$

На малюнку праворуч показано довжини гаків для всіх комірок на діаграмі розділу 10 = 5 + 4 + 1. Таким чином

$\dim {\pi }_{\lambda }=\frac{10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}=288.$

Аналогічно, розмір нескоротного представлення Шаблон:Math Шаблон:Math, що відповідає розбиттю λ з n (з не більше r частинами), - це число напівстандартного зображення Юнга у формі λ (що містить лише записи від 1 до r), яке задається формулою довжини гачка:

$\dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}\frac{r+j-i}{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k}(i,j)},$

де індекс i дає рядок і колонку j комірки. Наприклад, розділ (5, 4, 1) ми отримуємо як розмір відповідного нескоротного представлення GL7 (переміщення кодів рядками):

$\dim W(\lambda )=\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}=66528.$

Обмежені зображення

Представлення симетричної групи на Шаблон:Mvar елементах, Шаблон:Math також є зображеннями симетричної групи на Шаблон:Math елемента Шаблон:Math. Однак неприйнятне зображення Шаблон:Math не може бути неприйнятним для Шаблон:Math. Натомість це може бути пряма сума декількох уявлень, які нескоротні для Sn-1. Ці уявлення потім називаються факторами Шаблон:Нп (див. також Шаблон:Нп).

Питання про визначення цього розкладу обмеженого представлення даного незвідного зображенням S_n, що відповідає розбиттю Шаблон:Mvar з Шаблон:Mvar, відповідає наступним чином. Один з них утворює набір всіх діаграм Юнга, які можна отримати з діаграми форми Шаблон:Mvar, видаливши лише одну комірку (яка повинна бути в кінці його рядка та її стовпчика); потім обмежене представлення розкладається як пряма сума незвідних представлень Шаблон:Math, що відповідають тим діаграмам, кожен з яких з'являється лише один раз у сукупності.

Дивіться також

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп

Список літератури

• William Fulton. Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge University Press, 1997, Шаблон:ISBN.
• Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2nd Edition - Westview
• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. Шаблон:ISBN Шаблон:MathSciNet
• Laurent Manivel. Symmetric Functions, Schubert Polynomials, and Degeneracy Loci. American Mathematical Society.
• Jean-Christophe Novelli, Igor Pak, Alexander V. Stoyanovkii, "A direct bijective proof of the Hook-length formula Шаблон:Webarchive", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 1 (1997), pp. 53–67.
• Bruce E. Sagan. The Symmetric Group. Springer, 2001, Шаблон:ISBN
• Шаблон:Springer
• Predrag Cvitanović, Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press, 2008.

Посилання

• Eric W. Weisstein. "Ferrers Diagram Шаблон:Webarchive". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Eric W. Weisstein. "Young Tableau Шаблон:Webarchive." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Semistandard tableaux Шаблон:Webarchive entry in the FindStat Шаблон:Webarchive database
• Standard tableaux Шаблон:Webarchive entry in the FindStat Шаблон:Webarchive database