Повний алгебричний многовид

В алгебричній геометрії абстрактний алгебричний многовид $X$ називається повним, якщо він є відокремлюваним (тобто діагональ є замкнутою підмножиною у $X\times X$), і якщо для будь-якого многовида $Y$ проєкція ${\pi }_Y:X\times Y\to Y$ із добутку алгебричних многовидів із топологією Зариського на другий множник є замкнутим морфізмом, тобто образ довільної замкнутої множини теж є замкнутою множиною. Повні многовиди є певною мірою аналогом в алгебричній геометрії компактних просторів.

Властивості

• Замкнутий підмноговид повного многовида теж є повним многовидом.
• Прямий добуток повних многовидів теж є повним многовидом.
• Алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли всі його незвідні компоненти є повними.
• Алгебричний многовид $X$ є повним тоді і тільки тоді коли для всіх $m⩾1$ проєкція ${\pi }_{{𝔸}^m}:X\times {𝔸}^m\to {𝔸}^m$ є замкнутим морфізмом.

Нехай спочатку $Y$ — афінний многовид, тобто замкнена підмножина деякого афінного простору ${𝔸}^m$. Тоді будь-яка замкнена підмножина $Z\subset X\times Y$ також замкнена в $X\times {𝔸}^m$, отже, ${\pi }_{{𝔸}^m}(Z)={\pi }_Y$ замкнена в $Y$.

Далі, для будь-якого многовиду $Y$ існує відкрите покриття $Y=\bigcup _i{Y}_i$ , де $Y_i$ — афінні многовиди. Якщо $Z$ — замкнена підмножина в $X\times Y$ , то $Z=\bigcup _i{Z}_i$ , де $Z_i=Z\cap (X\times Y_i)$ , і ${\pi }_Y(Z)\cap Y_i={\pi }_Y(Z_i)$. З попереднього, кожна ${\pi }_Y(Z_i)$ є замкнутою в $Y_i$, а тому pr ${\pi }_Y(Z)$ замкнута в $Y$ . Отже, відображення ${\pi }_Y$ замкнуте.

• Образ повного многовида $X$ при регулярному відображенні у відокремлюваний многовид $Y$є замкнутою множиною і повним многовидом. Зокрема, регулярна функція на повному зв'язаному многовиді є константою.

Оскільки замкнута підмножина повного многовида є повною достатньо довести, що образ $f$ є замкнутим в $Y$. Позначимо через $\mathrm{\Gamma }\subseteq X\times Y$ графік відображення $f$: $\mathrm{\Gamma }=\{(p,f(p))|p\in X\}$. Оскільки $Y$ є відокремлюваним многовидом то цей графік є замкнутою множиною. Тому $f(X)={\pi }_Y(\mathrm{\Gamma })$ теж є замкнутою множиною.

Оскільки $f(X)$ є замкнутою множиною алгебричного многовида, то він теж є алгебричним многовидом. Тоді, ввівши морфізм $f\times \mathrm{Id}:X\times Y\to f(X)\times Y$, для довільної замкнутої множини $Z\subset f(X)\times Y$ множина $(f\times \mathrm{Id}{)}^{-1}Z$ є замкнутою у $X\times Y$ і ${\pi }_Y(f\times \mathrm{Id}{)}^{-1}Z={\pi }_{Y}Z$, де кожна проєкція визначена на відповідній множині. Оскільки $X$ є повним многовидом то ${\pi }_Y(f\times \mathrm{Id}{)}^{-1}Z$, а тому і ${\pi }_{Y}Z$ є замкнутою множиною.

Нехай $f:X\to K$ — регулярна функція. Ототожнюючи $K$ з ${𝔸}_0^1\subset {\mathbb{P}}^n$, можна розглядати $f$ як морфізм у ${\mathbb{P}}^n$. Отже, $\mathrm{Im}f$ є замкнутою множиною, що не збігається з усім ${\mathbb{P}}_1$, і тому $\mathrm{Im}f=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ . Тоді $X=\underset{i=1}{\overset{k}{⨆}}{f}^{-1}(a_i)$ (диз'юнктне об'єднання прообразів). Оскільки всі $f^{-1}(a_i)$ замкнені, а $X$ зв'язаний, $m=1$ , тобто $f$ є константою.

• Якщо квазіпроективний многовид $X\subseteq {\mathbb{P}}^n$ є повним, то він є проективним.

Простий наслідок попередньої властивості, адже образ морфізму включення має бути замкнутою множиною.

• Над полем комплексних чисел $ℂ$ алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли він є компактним у класичній топології.
• Теорема Нагати: Будь-який відокремлюваний многовид є ізоморфним відкритому підмноговиду деякого повного многовида.
• Лема Чжоу. Повний многовид є образом деякого проективного многовида при сюр'єктивному біраціональному морфізмі.

Приклади

• Проєкція ${\pi }_{{𝔸}^1}:{𝔸}^1\times {𝔸}^1$ не є замкнутою. Образом гіперболи $V(xy-1)$ є множина ${𝔸}^1\setminus \{0\},$ що не є замкнутою. Тому афінна пряма не є повною. Також це випливає з того, що афінна пряма є квазіпроективним многовидом але не є проективним.
• Натомість довільний проективний многовид завжди є повним.

Враховуючи властивості повних многовидів достатньо лише довести, що проєкція ${\pi }_{{𝔸}^m}:{\mathbb{P}}^m\times {𝔸}^m\to {𝔸}^m$ є замкнутою. Позначимо однорідні координати в ${\mathbb{P}}^n$ через $x=(x_0:x_1:\dots :x_n)$ , а координати в ${𝔸}^m$ через $y=(y_1,y_2,...,y_m)$. Нехай $Z$ — замкнута підмножина у ${\mathbb{P}}^n\times {𝔸}^m$. Вона є множиною спільних нулів множини многочленів $S=\{F_1,F_2,\dots ,F_r\}\subset K[X,Y]$, які є однорідними по змінних $x_0,x_1,\dots ,x_n$. Точка $q\in {𝔸}^m$ належить до ${\pi }_{{𝔸}^m}(Z)$ тоді й лише тоді, коли існує точка $p\in {\mathbb{P}}^n$ , така що $(p,q)\in Z$ , тобто $F_i(p,q)=0$ для всіх $i=1,\dots ,r$ . Отже, $q\in ̸{\pi }_{{𝔸}^m}(Z)$ тоді й лише тоді, коли $PV(S_q)=\varnothing$ , де $S_q=\{F_1(x,q),...,F_r(x,q)\}$ . По проективній Теоремі Гільберта про нулі, це означає, що $I_{+}^k\subseteq S_q$ для деякого $k$ , тобто кожен одночлен степеня $k$ може бути представлений у вигляді $\sum _{i=1}^r{H}_i{F}_i(x,q)$ для деяких однорідних многочленів $H_i(x_0,x_1,\dots ,x_n)$. Позначимо через $P_k$ векторний простір всіх однорідних многочленів степеня $k$ з $K[x]$. Остання умова означає, що множина $\{w_j{F}_i(x,q)|i=1,\dots ,r\}$ де $w_j$ пробігає всі одночлени степеня $k-\mathrm{deg}{F}_i$ породжує $P_k$ , або, що те саме, $\mathrm{rk}{M}_k=\dim P_k$ , де $M_k$ — матриця, рядки якої складаються з коефіцієнтів усіх можливих $w_j{F}_i$ (записаних у заданому порядку). Позначимо $D=\dim P_k$ . Оскільки завжди $\mathrm{rk}{M}_k⩽\dim P_k$ , остання умова означає, що принаймні один $D\times D$ мінор $M_k$ ненульовий. Коефіцієнти матриці $M$ — многочлени від $q$ , отже, множина $U_k=\{q\in {𝔸}^m|\mathrm{rk}{M}_k=\dim P_k\}$, відкрита в ${𝔸}^m$. Тому множина $U=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_k$ є також відкритою. Але $U={𝔸}^n\setminus {\pi }_{{𝔸}^m}(Z)$ , отже, ${\pi }_{{𝔸}^m}(Z)$ є замкнутою.

• Хоча більшість повних многовидів, що зустрічаються на практиці є проективними, існують і непроективні повні многовиди. Візьмемо спочатку ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ і роздуємо на ньому точку $(0,0)$. Після цього одержується лінійчата поверхня $\phi :Y\to {\mathbb{P}}^1$ з одним виродженим шаром над 0, який складається з двох компонент $F$ і $G$ ізоморфних ${\mathbb{P}}^1$.

Тепер візьмемо ще один екземпляр такої поверхні ${\phi }^{\prime }:Y^{\prime }\to {\mathbb{P}}^1$ з виродженим шаром $\phi {\text{'}}^{-1}(0)=F^{\prime }\cup G^{\prime }$ і склеїмо $Y$ з $Y^{\prime }$, ототожнюючи криву $F$ з шаром $\phi {\text{'}}^{-1}(\mathrm{\infty })$ і $F^{\prime }$ з шаром ${\phi }^{-1}(\mathrm{\infty })$.

Отримана поверхня $X$, складається з двох компонент $Y$ і $Y^{\prime }$, кожна з яких є проективною, тому $X$ є повним многовидом. Однак $X$ не можна вкласти в ${\mathbb{P}}^n$.

В іншому випадку, візьмемо гіперплощину $H\subset {\mathbb{P}}^n$, яка трансверсально перетинає $F,G,F^{\prime },G^{\prime }$ відповідно в $\nu ,\mu {\nu }^{\prime },{\mu }^{\prime }$ точках. Так як шар ${\phi }^{-1}(0)=F+G$ «неперервно деформується» в шар ${\phi }^{-1}(\mathrm{\infty })=F^{\prime }$, ми отримуємо $\nu +\mu ={\nu }^{\prime }$. Аналогічно ${\nu }^{\prime }+{\mu }^{\prime }=\nu$ звідки $\mu +{\mu }^{\prime }=0$ . Це означає, що гіперплощина $H$ не перетинається з кривими $G,G^{\prime }$, тобто вони лежать в ${\mathbb{P}}^n\setminus H$. Але ${\mathbb{P}}^n\setminus H\cong {𝔸}^n$ — афінний многовид і він не може містити повних кривих.

• Будь-яка гладка повна крива і гладка повна поверхня є проективними. В розмірності три існують гладкі повні непроективні многовиди.

Див. також

• Алгебричний многовид
• Компактний простір
• Морфізм алгебричних многовидів
• Алгебрична поверхня

Література

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-uk
• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7, 6. Complete Varieties.
• Шаблон:Citation