Кульовий сегмент

Приклад кульового сегмента (зафарбований синім). Інша частина кулі також є кульовим сегментом

Кульови́й сегме́нт — частина кулі, відрізана від неї площиною. Поверхнями кульового сегмента є сферичний сегмент і круг, утворений при перетині кулі площиною.

Якщо січна площина проходить через центр кулі, то такі кульові сегменти є однаковими і називаються півкулями.

---

Властивості тримірних фігур інколи ілюструють прикладами подібних алгебраїчних об'єктів, попри те що геометрично вони відмінні. Наприклад рівняння сфери та площини у тримірному просторі, за сталого значення однієї з координат чи проекції, відповідають рівнянням кола та прямої для двомірного випадку. Тому кажуть що круговий сегмент є двомірним випадком кульового сегмента. З тієї ж причини інколи розглядається багатовимірна, сфероїдна чи еліпсоїдна подоба.

Основні визначення

• Основа кульового сегмента — це круг радіуса a, утворений при перетині кулі площиною.
• Висота кульового сегмента (h) — найбільша відстань від січної площини (площини основи) до поверхні сегмента.
• Залежність між радіусом основи і висотою кульового сегмента має вигляд

$a=\sqrt{h(2r-h)}$.

Об'єм кульового сегмента

Через його параметри

Якщо радіус основи сегмента дорівнює $a$, висота сегмента — $h$, тоді об'єм V кульового сегмента буде

$V=\frac{\pi h}{6}(3a^2+h^2)$,

Вираз через радіус сферичного сегмента $r$ та висоту $h$:

$n=3,V_{dome}=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$

Двомірний випадок

Через радіус сегмента круга $r$ та висоту $h$, чи з кутом $\theta$ та радіусом основи $a$:

$n=2,V_{dome}=r^{2}ArcCos\left(\frac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{h(2r-h)}=r^2\theta -a(r-h)$

Останній вираз ілюструє простий зв'язок з об'ємом сектора та його конічною частиною $V_{dome}=V_{sector}-V_{cone}$, $V_{cone}(r,h,n)=\frac{r-h}{n}{V}_{ball}(a,n-1)$, $V_{ball}(r,k)=\frac{r^k{\pi }^{k/2}}{\mathrm{\Gamma }(k/2+1)}$. Для тримірного простору такий зв'язок менш очевидний, через те що подобою кута в радіанах є стерадіан, який пов'язаний із плоским аналогом більш складно.

Для довільної вимірності

- рекурентний зв'язок:

• в явному вигляді

$V_{dome}(r,t,i+2)=\frac{2\pi r^2}{i+2}(V_{dome}(r,t,i)-\frac{r{V}_{ball}(r,i-1)}{(i+1)}t{(1-t^2)}^{\frac{i+1}{2}})$

де $i⩾1,t=\cos (\theta )=\frac{r-h}{r},V_{ball}(r,0)=1$

• між сусідніми вимірностями

$V_{dome}(r,h,i)=\underset{0}{\overset{2a}{\int }}{V}_{dome}(r(x),h(x),i-1)dx$

де $i⩾1,r⩾h,r(x)=r\sqrt{1-{\left(\frac{a-x}{r}\right)}^2},h(x)=r(x)-(r-h),a=\sqrt{h(2r-h)}$

Розрахунок через інтегрування

За алгебраїчного використання, коли вираз є проміжним, чи для ілюстрації залежності від параметрів бувають корисні вирази у інтегральній формі:

- інтегрування через висоту

$V_{dome}(r,h,n)=\underset{r-h}{\overset{r}{\int }}{V}_{ball}(a(x),n-1)dx=r{V}_{ball}(r,n-1)\underset{t}{\overset{1}{\int }}(1-x^2{)}^{\frac{n-1}{2}}dx$

де $a(x)=\sqrt{r^2-x^2},t=\cos (\theta )=\frac{r-h}{r}$.

- інтегрування через кут

$V_{dome}(r,h,n)=r{V}_{ball}(r,n-1)\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}{\sin }^n\varphi d\varphi$

де $\cos (\theta )=\frac{r-h}{r}$

Оптимізація під алгебраїчну простоту на кожному кроці не завжди є оптимальною, оперування загальними виразами може бути корисним у доведеннях через те що вони є параметрами для загальних інваріантів.

Площа сферичної поверхні кульового сегмента

Площа сферичної частини поверхні сегмента (сегмента сфери) дорівнює

$A=2\pi rh$

або

$A=2\pi r^2(1-\cos \theta )$.

Параметри $a$, $h$ і $r$ пов'язані співвідношеннями

$r^2=(r-h{)}^2+a^2=r^2+h^2-2rh+a^2$,

$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$.

Підстановка останньої залежності у перший вираз для обчислення площі дає рівняння

$A=2\pi \frac{(a^2+h^2)}{2h}h=\pi (a^2+h^2)$.

Див. також

• Сферичний сегмент
• Кульовий шар
• Кульовий сектор
• Сферична оболонка

Посилання

• Кульовий сегмент Шаблон:Webarchive / на сайті «ЯКлас».