Лема Гауса про незвідні многочлени
Лема Гауса — твердження про властивості многочленів над факторіальними кільцями, що вперше було доведено для многочленів над кільцем цілих чисел. Має багато застосувань у теорії кілець та полів, зокрема при доведенні факторіальності кільця многочленів над факторіальним кільцем і теореми Люрота.
Твердження
Нехай — факторіальне кільце. Тоді справедливими є такі два твердження:
- Для довільних якщо ділить всі коефіцієнти добутку то також ділить всі коефіцієнти або многочлена або многочлена Зокрема якщо — примітивні многочлени (многочлен називається примітивним, якщо найбільший спільний дільник його коефіцієнтів є оборотним елементом), то і многочлен є примітивним;
- Якщо — поле часток кільця то довільний многочлен не рівний константі є незвідним у кільці тоді і тільки тоді коли він є незвідним у кільці
Твердження про добуток примітивних многочленів і про незвідні многочлени будуть справедливими і якщо розглядати замість факторіальних кілець більш загальні області в яких два довільних елементи мають найбільший спільний дільник.
Доведення (для факторіальних кілець)
Покажемо, що якщо елемент кільця є спільним дільником коефіцієнтів многочлена , то він є спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена або спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена .
Нехай , , — степені цих многочленів.
Припустимо, що не ділить всі коефіцієнти ні многочлена ні многочлена Тоді існують найменші для яких і
Коефіцієнт біля одночлена степеня многочлена має вигляд:
Згідно вибору елемент ділить всі доданки у цій сумі за винятком яких він не ділить оскільки кільце є факторіальним. Отож він не ділить і всю суму, що є одним з коефіцієнтів многочлена. Як наслідок, якщо обидва многочлени є примітивними то єдиними елементами, що ділять всі коефіцієнти їх добутку є оборотні елементи, тобто — примітивний многочлен.
Нехай тепер — факторизація у кільці Обравши спільні кратні знаменників коефіцієнтів многочленів отримуємо, що і і
Кожен незвідний дільник відповідно ділить всі коефіцієнти многочлена і відповідно всі коефіцієнти одного з цих многочленів. Поділивши на цей дільник і повторивши цей процес скінченну кількість разів отримуємо факторизацію у кільці