Теорема Люрота

Теорема Люрота — важливий результат у теорії полів, що має важливі застосування для алгебричної теорії чисел і алгебричної геометрії. Теорема названа на честь німецького математика Якоба Люрота, який довів її у 1876 році.

Твердження теореми

Нехай $K(t):K$ — просте розширення поля і елемент t є трансцендентним над K. Якщо L є підполем K(t), що містить K і не є йому рівним то $L:K$ теж є простим розширенням. Це розширення теж буде трансцендентним і відповідно буде ізоморфним полю $K(t)$

Доведення

Якщо $s\in L\setminus K$, то його можна записати як $s=p(t)/q(t)$ де $p,q\in K[x]$ є ненульовими многочленами. Тоді $q(t)s-p(t)=0$, і t є алгебричним елементом над полем L.

Нехай m — мінімальний многочлен елемента t над L. m можна розглядати як елемент $K(t)[x].$ Тоді існує $\beta \in K(t)$ для якого $\beta m=f$, де

$f=a_0(t)+a_1(t)x+\dots +a_n(t)x^n$

є примітивним многочленом у кільці $K[t][x]$ (тобто найбільший спільний дільник елементів $a_i(t)\in K[t],$ що є ненульовими коефіцієнтами біля степенів x є рівним 1). Зауважимо що $n=\mathrm{deg}(m)=[K(t):L]$.

Оскільки старший коефіцієнт m рівний 1, $\beta =a_n(t)$ і всі частки $a_i(t)/a_n(t)$ належать полю L; з іншого боку вони не можуть всі належати полю K, оскільки t є трансцендентним елементом над K. Отож існує $0⩽i<n,$ для якого $u:=a_i(t)/a_n(t)\in L\setminus K.$

Можна записати $u=g(t)/h(t)$ де g і h є взаємно простими многочленами у $K[t]$. Нехай $r=\max (\mathrm{deg}(g),\mathrm{deg}(h))$. Тоді, як неважко помітити, $[K(t):K(u)]=r$. Оскільки $K(u)\subset L$, це означає що $r⩾n.$ Тому для доведення теореми достатньо довести, що також $r⩽n.$, бо тоді отримаємо, що $L=K(u).$

Розглянемо вираз $l=g(t)h(x)-h(t)g(x).$ Оскільки g і h є взаємно простими, l не є рівним нулю. Із попередніх означень отримуємо $(h(t){)}^{-1}l\in L[x]$, і t є коренем цього многочлена. Тому m ділить $(h(t){)}^{-1}l$ в $L[x]$ і, як наслідок, f ділить l в $K(t)[x].$ Але f є примітивним многочленом у $K[t][x]$ і тому з леми Гауса випливає, що f ділить l у $K[t][x],$ тобто існує $j\in K[t][x]$ такий що $l=fj.$

Вирази $l,f,j$ можна розглядати як елементи $K[t][x]$ або як елементи $K[x][t]$: позначатимемо степінь по змінній x як ${\mathrm{deg}}_x$ і степінь по змінній t як ${\mathrm{deg}}_t.$

Маємо ${\mathrm{deg}}_t(l)⩽r$ і ${\mathrm{deg}}_t(f)⩾r$ оскільки $r=\max (\mathrm{deg}g,\mathrm{deg}h)⩽\max (\mathrm{deg}(a_i(t)),\mathrm{deg}(a_n(t)))$ зважаючи на те, що $u=g(t)/h(t)=a_i(t)/a_n(t)$ і g і h є взаємно простими; натомість очевидно ${\mathrm{deg}}_t(f)⩾\max (\mathrm{deg}(a_i(t)),\mathrm{deg}(a_n(t)))$.

Звідси, враховуючи рівність $l=fj,$ маємо ${\mathrm{deg}}_t(f)={\mathrm{deg}}_t(l)=r$ і ${\mathrm{deg}}_t(j)=0$ або, іншими словами $j\in K[x].$ Зокрема це означає, що j є примітивним многочленом у $K[t][x].$ Оскільки це ж справедливо для f то, згідно леми Гауса, многочлен $l=fj$ теж є примітивним у $K[t][x].$. Але l є кососиметричним щодо змінних t і x і тому l є примітивним многочленом у $K[x][t]$. Проте $j\in K[x]$ і j ділить l; отже j має бути оборотним у $K[x]$, тобто $j\in K.$ Звідси

$n={\mathrm{deg}}_x(f)={\mathrm{deg}}_x(l)={\mathrm{deg}}_t(l)={\mathrm{deg}}_t(f)⩾r,$

що завершує доведення теореми.

Див. також

• Просте розширення поля
• Раціональні функції

Література

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation