Клас Штіфеля — Вітні

Клас Штіфеля — Вітні — певний характеристичний клас, що відповідає дійсному векторному розшаруванню $E\to X$. Зазвичай позначається через $w(E)$. Приймає значення в кільці когомологій $H^{*}(X;{\mathbb{Z}}_2)$, з коефіцієнтами в ${\mathbb{Z}}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Компонента $w(E)$ в $i$-ій групі когомологій $H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$ позначається $w_i(E)$ і називається $i$-им класом Штіфеля — Вітні розшарування $E$, і формально можна записати

$w(E)=w_0(E)+w_1(E)+w_2(E)+\dots .$

Класи $w_i(E)$ є перешкодами в $H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$ до побудови $(n-i+1)$-го лінійно незалежного перетину $E$, обмеженого на $i$-й кістяк $X$.

Аксіоматичне означення

Тут і далі, $H^i(X;G)$ позначає сингулярні когомології простору $X$ з коефіцієнтами в групі $G$.

Клас Штіфеля — Вітні визначається як відображення, що зіставляють розшаруванню $E$ елемент кільця когомологій $w(E)$ так, що виконуються наступні аксіоми:

1. Природність: $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ для будь-якого розшарування $E\to X$ і відображення $f:X^{\prime }\to X$, де $f^{*}E$ позначає відповідне індуковане розшарування над $X^{\prime }$.
2. $w_0(E)=1$ в $H^0(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. $w_1({\gamma }^1)$ є ненульовим, де ${\gamma }^1$ — тавтологічну розшаруванні. Іншими словами клас $w({\gamma }^1)$ не є тривіальним.
4. $w(E\oplus F)=w(E)⌣w(F)$ (формула добутку Вітні). Формула в правій частині є формальним записом і може бути записана через класи Штіфеля — Вітні як $w_k(E\oplus F)=\sum _{i=0}^k{w}_i(E)⌣w_{k-i}(F),$ де $⌣$ позначає кап-добуток.

Можна показати, що класи, які задовольняють цим аксіомам, існують і є єдиними.

Початкова побудова

Класи Штіфеля — Вітні $w_i(E)$ були запропоновані Едуардом Штіфелем і Хасслером Вітні як приведення по модулю 2 класів, що вимірюють перешкоди до побудови $(n-i+1)$-го лінійно незалежного перетину $E$, обмеженого на $i$-ий остов $X$. (Тут $n$ — розмірність шару $F$ розшарування $E$).

Більш точно, якщо $X$ є CW-комплексом, Вітні визначив класи $W_i(E)$ в $i$-й групі клітинних когомологій $X$ з нестандартними коефіцієнтами.

А саме, як коефіцієнти можна взяти $(i-1)$-а гомотопічна група многовиду Штіфеля $V_{n-i+1}(F)$ наборів з $n-i+1$ лінійно незалежних векторів в шарі $F$. Вітні довів, що для побудованих ним класів $W_i(E)=0$ тоді і тільки тоді, коли розшарування $E$, обмежене на $i$-остов $X$, має $n-i+1$ лінійно незалежний перетин.

Оскільки гомотопічна група ${\pi }_{i-1}{V}_{n-i+1}(F)$ многовиду Штіфеля завжди або є нескінченною циклічною, або ізоморфною ${\mathbb{Z}}_2$, то існує канонічна редукція класів $w_i(E)$ до класів $w_i(E)\in H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$, які і називаються класами Штіфеля — Вітні.

Зокрема, якщо ${\pi }_{i-1}{V}_{n-i+1}(F)={\mathbb{Z}}_2$, то ці класи просто збігаються.

Пов'язані означення

• Для многовида розмірності $n$, будь-який добуток класів Штіфеля — Вітні загального степеня $n$ може бути спареним з ${\mathbb{Z}}_2$ фундаментальна класом цього многовида, даючи в результаті елемент ${\mathbb{Z}}_2$; такі числа називають числами Штіфеля — Вітні векторного розшарування. Наприклад, для розшарування на тривимірному многовиді є три лінійно незалежних числа Штіфеля — Вітні, що відповідають $w_1^3$, $w_1{w}_2$ і $w_3$. У загальному випадку, якщо многовид є $n$-вимірним, різні числа Штіфеля — Вітні відповідають розбиттю $n$ в суму цілих доданків.
  • Числа Штіфеля — Вітні дотичного розшарування до гладкого многовида називаються числами Штіфеля — Вітні цього многовид. Вони є інваріантами кобордизмів.
• Природному відображенню приведення по модулю два, $\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2$, відповідає гомоморфізм Бокштейна

  $\beta :H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)\to H^{i+1}(X;\mathbb{Z}).$

Образ класу $w_i$ під його дією, $\beta w_i\in H^{i+1}(X;\mathbb{Z})$, називається $(i+1)$-им цілим класом Штіфеля — Вітні.

• Зокрема, третій цілий клас Штіфеля — Вітні є перешкодою до побудови ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}^C$-структури.

Властивості

• Якщо розшарування $E^k$ має $s_1,\dots ,s_{\ell }$ перетинів, лінійно незалежних над кожною точкою, то $w_{k-\ell +1}=\dots =w_k=0$. Зокрема оскільки тривіальне розшарування рангу $k$ завжди має $k$ лінійно незалежних перетинів то для тривіальних розшарувань $w_n=0,n>0.$
• З попереднього також для тривіального розшарування $E$ і довільного векторного розшарування $F$ виконується рівність $w_i(E\oplus F)=w_i(F),\mathrm{\forall }i⩾0.$
• $w_i(E)=0$ при $i>\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(E)$.
• Перший клас Штіфеля — Вітні рівний нулю тоді і тільки тоді, коли розшарування є орієнтовним. Зокрема, многовид $M$ є орієнтовним тоді і тільки тоді, коли $w_1(TM)=0$.
• Розшарування допускає спінорну структуру, тоді і тільки тоді, коли перший і другий класи Штіфеля — Вітні обидва рівні нулю.
• Для орієнтовного розшарування, другий клас Штіфеля — Вітні лежить в образі природного відображення $H^2(M,\mathbb{Z})\to H^2(M,{\mathbb{Z}}_2)$ (або, що те ж саме, так званий третій цілий клас Штіфеля — Вітні наближається до нуля) тоді і тільки тоді, коли розшарування допускає ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}^C$-структуру.
• Всі числа Штіфеля - Вітні гладкого компактного многовида $X$ рівні нулю тоді і тільки тоді, коли цей многовид є границею (без урахування орієнтації) гладкого компактного многовида.

Приклади

• Загальний клас Штіфеля — Вітні довільного тривіального векторного розшарування рівний 1, тобто $w_n=0,n>0.$
• Для дотичного розшарування над одиничною сферою $S^n$ клас Штіфеля — Вітні теж рівний 1. Тобто за допомогою класів Штіфеля — Вітні дотичне розшарування не можливо відрізнити від тривіального хоча не для всіх сфер дотичне розшарування є тривіальним.
• Нехай $P^n$ — проективний простір розмірності n. Тоді сингулярні групи когомологій $H^i(P^n;{\mathbb{Z}}_2)$ є циклічними групами порядку 2 для $i⩽n$ і є нульовою групою для інших значень. До того ж якщо a — ненульовий елемент групи $H^1(P^n;{\mathbb{Z}}_2)$ то i-кратний кап-добуток a на самого себе є ненульовим елементом групи $H^i(P^n;{\mathbb{Z}}_2).$ При цих позначеннях для тавтологічного розшарування $w({\gamma }^n)=1+a.$
• В тих же позначеннях, що і в попередньому пункті, якщо ${\gamma }_{\perp }^n$ — ортогональне доповнення тавтологічного розшарування, то $w({\gamma }_{\perp }^n)=1+a+a^2+a^3+\dots +a^n.$
• $w(P^n)=(1+a{)}^{n+1}.$ Зокрема $w(P^n)=1$ тоді і тільки тоді коли n + 1 є степенем 2.

Література

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — Москва: Мир, 1979. — 371 с.