Гомоморфізм Бокштейна

У гомологічній алгебрі, гомоморфізм Бокштейна є звязуючим гомоморфізмом для короткої точної послідовності:

$0\to P\to Q\to R\to 0$

абелевих груп, якщо вони використовуються як коефіцієнти гомологічних груп ланцюгового комплекса C.

У цьому випадку однозначно визначається гомоморфізм

$\beta :H_i(C,R)\to H_{i-1}(C,P).$

Більш детально, у означенні C є комплексом вільних абелевих груп або більш загально абелевих груп без кручень, а гомологія обчислюється для комплексів одержаних за допомогою тензорного добутку груп у точній послідовності із групами із C. Оскільки абелеві групи без кручень є плоскими модулями то в результаті одержується коротка точна послідовність ланцюгових комплексів і гомоморфізм $\beta$ одержується стандартним методом за допомогою леми про змію.

Подібно будується і гомоморфізм для когомологічних груп:

$\beta :H^i(C,R)\to H^{i+1}(C,P).$

Найважливішими на практиці є гомоморфізми Бокштейна $\beta$ для точних послідовностей коефіцієнтів

$0\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to 0,$ особливо для простих чисел p.

У цьому випадку для гомоморфізма Бокштейна також:

$\beta \beta =0$,

$\beta (a\cup b)=\beta (a)\cup b+(-1{)}^{\dim a}a\cup \beta (b)$;

іншими словами гомоморфізм Бокштейна є супердеривацією на когомологічному кільці з коефіцієнтами за модулем p.

Гомоморфізма Бокштейна у цьому випадку використовується як один із породжуючих елементів алгебри Стінрода.

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation