Нормальне розшарування

Нормальне розшарування підмноговида $S$ гладкого многовида $M$ — векторне розшарування, що доповнює дотичне розшарування $\mathrm{T}S.$ Особливо важливим є випадок ріманових многовидів в якому нормальне розшарування в кожній точці є ортогональним доповненням ${\mathrm{T}}_{p}S$ до простору ${\mathrm{T}}_{p}M.$

Означення

Ріманові многовиди

Нехай $(M,g)$ — ріманів многовид і $S\subset M$ — ріманів підмноговид. Для $p\in S$, вектор $n\in {\mathrm{T}}_{p}M$ є нормальним до $S$ якщо $g(n,v)=0$ для всіх $v\in {\mathrm{T}}_{p}S.$ Тобто $n$ належить ортогональному доповненню простору ${\mathrm{T}}_{p}S$ до простору ${\mathrm{T}}_{p}M$. Множина ${\mathrm{N}}_{p}S$ нормальних векторів $n$ є векторним простором, що називається нормальним простором до $S$ в точці $p.$

Нормальним розшаруванням $\mathrm{N}S$ називається об'єднання всіх таких нормальних просторів:

$\mathrm{N}S:=\coprod _{p\in S}{\mathrm{N}}_{p}S$.

Дане розшарування є векторним розшаруванням і дотичне розшарування $\mathrm{T}M$ є сумою Вітні розшарувань $\mathrm{T}S$ і $\mathrm{N}S.$

Загальний випадок

Якщо задано занурення $i:N\to M$ многовида, то нормальне розшарування до N в M можна визначивши в кожній точці N прийнявши за нормальний простір фактор-простір дотичного простору до M по дотичному простору до N. Тобто для $p\in S$ за означенням

N_pS = Ti(s)M / T_si(T_sS).

Для Ріманового многовиду цей фактор-простір є ізоморфним ортогональному доповненню до $i_{*}({\mathrm{T}}_{p}S)$ в просторі ${\mathrm{T}}_{i(p)}M$ і дані два означення є еквівалентними, окрема, для будь-якої пари ріманових метрик на $M$ визначені ними нормальні розшарування є ізоморфними.

Дані означення також дають точну послідовність:

$0\to TS\to T{M}_{|S}\to NS\to 0.$

Див. також

• Векторне розшарування
• Дотичне розшарування
• Ортогональне доповнення

Посилання

• Шаблон:Springer