Теорема Міттаг-Лефлера

Теорема Міттаг-Лефлера — в комплексному аналізі твердження про властивості мероморфних функцій, що визначає існування мероморфних функцій із заданими полюсами і головними частинами ряду Лорана, а також стверджує для довільних мероморфних функцій існування аналогу розкладу раціональної функції на прості дроби.

Твердження теореми

Нехай задана скінченна або зліченна послідовність різних комплексних чисел $z_{k}$ для яких $| z_{1} | ⩽ | z_{2} | ⩽ . . . ⩽ | z_{k} | ⩽ . . .$ і $\lim_{k \to \infty} z_{k} = \infty .$ Нехай також задані функції:

g_{n} (z) = \sum_{i = 1}^{p_{n}} \frac{c_{- i}^{(n)}}{(z - z_{n})^{i}},

які можна інтерпретувати як головні частини рядів Лорана деяких мероморфних функцій в точках $z_{k} .$

Тоді існує мероморфна функція $f (z)$ для якої $z_{k}$ є множиною всіх полюсів і головна частина функції $f (z)$ в точці $z_{n}$ є рівною $g_{n} (z) .$

Якщо ж деяка мероморфна функція $f (z)$ має своїми полюсами множину $z_{k}$ (з властивостей мероморфних функцій випливає, що ця множина є не більш, ніж зліченною) і головна частина функції $f (z)$ в точці $z_{n}$ є рівною $g_{n} (z),$ то для цієї функції справедливий розклад Міттаг-Лефлера:

f (z) = h (z) + \sum_{n = 1}^{\infty} (g_{n} (z) - P_{n} (z)),

де

h

— деяка ціла функція, а

P_{n}

— деякі многочлени і ряд в правій стороні рівності збігається рівномірно на компактних множинах. В даному випадку ряд називається збіжним (рівномірно збіжним) на компактній множині, якщо лише скінченна кількість його доданків має полюси на цій множині і після видалення цих доданків інші збігаються (рівномірно збігаються) на множині.

Доведення

Без обмеження загальності можна вважати, що $z_{1} \neq 0 .$ В іншому разі замість функції $f (z)$ можна розглядати функцію $f (z) - g_{1} (z) .$

Зафіксуємо дійсне число $0 < q < 1,$ і позначимо $K_{n} : = {z \in ℂ : | z | < q | z_{n} |} .$ Оскільки функція $g_{n} (z)$ є голоморфною в крузі ${| z | < | z_{n} |}$ і $K_{n}$ є підмножиною цього круга то $g_{n} (z)$ можна рівномірно на в $K_{n}$ наблизити многочленом Тейлора:

$P_{n} (z) = \sum_{i = 0}^{m_{n}} \frac{g_{n}^{(i)} (0)}{k!} z^{k},$

де степінь многочлена ми виберемо так, щоб для всіх $z \in K_{n}$ було $| g_{n} (z) - P_{n} (z) | < \frac{1}{2^{n}} .$

При такому виборі $P_{n} (z)$ розглянемо ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} (g_{n} (z) - P_{n} (z)) = f (z)$ .

Для довільної компактної множини $K$ існує натуральне число $N,$ таке що $K \subset K_{n}, \forall n > N .$

Тоді всі члени ряду $\sum_{n = N}^{\infty} (g_{n} (z) - P_{n} (z)) = f_{N} (z)$ є голоморфними на $K$ , і цей ряд мажорується збіжною геометричною прогресією $\frac{1}{2^{n}} .$

Отже даний ряд збігається на рівномірно на $K$ і за теоремою Вейєрштраса його сума є голоморфною функцією в $K$ .

Функція $f (z)$ відрізняється від $f_{N} (z)$ на раціональну функцію

$\sum_{n = 1}^{N - 1} (g_{n} (z) - P_{n} (z))$

що має полюси в точках $z_{1} (z), \dots, z_{N - 1} (z)$ і відповідні головні частини рівні $g_{1} (z), \dots, g_{N - 1} (z) .$

Тобто на множині $K$ функція $f (z)$ має задані полюси і головні частини. Так як $K$ — довільна компактна множина то $f (z)$ — мероморфнамфункція і має в $ℂ$ задані полюси і головні частини.

Якщо тепер $f (z)$ — довільна мероморфна функція, що немає полюса в нулі (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію $f (z) - g_{1} (z)$ ) то позначивши її полюси так що $| z_{1} | ⩽ | z_{2} | ⩽ . . . ⩽ | z_{k} | ⩽ . . .$ і побудувавши, як і вище суму ряду $\sum_{n = 1}^{\infty} (g_{n} (z) - P_{n} (z)) = f_{0} (z)$ отримуємо, що різниця $f (z) - f_{0} (z)$ є цілою функцією, що завершує доведення.

Приклади розкладу Міттаг-Лефлера

Нижче подні приклади розкладу Міттаг-Лефлера для деяких мероморфних функцій:

$\frac{1}{\sin (z)} = \sum_{n \in ℤ} \frac{(- 1)^{n}}{z - n π} = \frac{1}{z} + \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 z}{z^{2} - n^{2} π^{2}}$

$\cot (z) \equiv \frac{\cos (z)}{\sin (z)} = \sum_{n \in ℤ} \frac{1}{z - n π} = \frac{1}{z} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 z}{z^{2} - k^{2} π^{2}}$

$\frac{1}{\sin^{2} (z)} = \sum_{n \in ℤ} \frac{1}{(z - n π)^{2}}$

$\frac{1}{z \sin (z)} = \frac{1}{z^{2}} + \sum_{n \neq 0} \frac{(- 1)^{n}}{π n (z - π n)} = \frac{1}{z^{2}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n π} \frac{2 z}{z^{2} - π^{2} n^{2}}$

Див. також

Посилання

Шаблон:Springer

Джерела

Теорема Міттаг-Лефлера

Зміст

Твердження теореми

Доведення

Приклади розкладу Міттаг-Лефлера

Див. також

Посилання

Джерела

Навігаційне меню

Теорема Міттаг-Лефлера

Твердження теореми

Доведення

Приклади розкладу Міттаг-Лефлера

Див. також

Посилання

Джерела

Навігаційне меню

Пошук